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中国科学：数学 2018年第9期48卷 1095-1120页

作者：黄礼平赵康长沙理工大学数学与统计学院长沙410114

设D^(m×n)为体D上m×n矩阵的集合.两个矩阵A,B∈D^(m×n)称为邻接的,如果rank(A-B)=1.按此邻接关系,以D^(m×n)为顶点集,本文得到一个连通图.设D和D′为两个体,|D|4,m,n,m′,n′2为整数.应用几何方法,本文刻画了从D^(m×n)到D′^(m′×... 详细信息

设D^(m×n)为体D上m×n矩阵的集合.两个矩阵A,B∈D^(m×n)称为邻接的,如果rank(A-B)=1.按此邻接关系,以D^(m×n)为顶点集,本文得到一个连通图.设D和D′为两个体,|D|4,m,n,m′,n′2为整数.应用几何方法,本文刻画了从D^(m×n)到D′^(m′×n′)的非退化的图同态φ,其中φ满足条件:φ(0)=0且φ保持D^(m×n)中两个不同类型的标准极大邻接集的维数不变.作为一个推论,当D为EAS(every endomorphism to be automatically surjective)体时,本文给出了从D^(m×n)到D^(m′×n′)的非退化的图同态的代数公式.

关键词：图同态长方矩阵体矩阵几何保邻接的映射加权半仿射映射

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关联几何的若干问题研究

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作者：王玲玲长沙理工大学

学位级别：硕士

经典几何现在被推广为关联几何,它其中包含最为基础的射影几何与仿射几何,很多文献中使用不同的公理化定义,而且证明这些不同的公理化定义的等价性是困难的,这给理解与应用成果带来麻烦.目前关联几何的发展趋势之一是研究环上几何,以及... 详细信息

经典几何现在被推广为关联几何,它其中包含最为基础的射影几何与仿射几何,很多文献中使用不同的公理化定义,而且证明这些不同的公理化定义的等价性是困难的,这给理解与应用成果带来麻烦.目前关联几何的发展趋势之一是研究环上几何,以及”较弱条件下的几何变换问题”,即简化几何基本定理的条件使之更完美和便于应用.上世纪九十年代以来,国外几位学者刻画了较弱条件下的射影几何基本定理,即刻画了两个体上射影几何之间的将直线映射到直线之内的映射.本文将在此基础上,进一步讨论与完善射影几何与仿射几何理论. 本文共分三章.第一章简要介绍课题背景,研究内容和主要结果. 本文第二章,给出了射影几何公理化定义,讨论了射影几何的等价定义,射影几何的基本性质,射影几何与向量空间的关联,射影几何之间的态射,除环上左(右)向量空间之间的半线性映射.上世纪九十年代之后,国外几何学家证明了较弱条件下的射影几何基本定理,本文对这个重要基本定理的证明进一步的整理与修改,使之更容易阅读与理解.在第二章的最后一节,讨论了Bezout整环上射影几何理论.主要结果是应用环论中的局部化方法,证明了Bezout整环上射影几何基本定理,内容如下：设R’,R是两个Bezout整环,R是R的分式除环,V’=R’R’n,V=RRn,V=RRn,n≥3.设g：P(V’)→P(V)是一个非退化的射影态射,则存在标准态射τ：V→V使得rog是从P(V’)到P(V)的非退化的(射影)态射,并且Υog((x))=,(?)x∈V’,其中P∈Rn×n是固定的,σ：R’→R是环同态且1R’σ=1R,OR’σ=OR. 本文第三章,介绍了仿射几何理论,讨论了仿射几何之间的态射和加权半仿射映射理论.我们知道下述的较弱条件下的仿射几何基本定理：设VV’分别为维数≥2的除环D,D’上左或右向量空间,其中|D|≥4,则每个非退化的仿射态射f：V--→Ｖ’是加权半仿射映射.这是一个很重要的结果,但文献中对它的讲述还不是很详细,因此本文对这个定理的证明进行了整理与修改,还给出了加权半仿射映射的具体公式,以便于容易理解和应用.

关键词：关联几何射影几何仿射几何除环 Bezout整环加权半仿射映射

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