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探寻几何代数齐上阵,拓宽数量积最值求解——一道2023年强基计划校考试题的探究与拓展

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高中数理化 2024年第9期 130-132页

作者：陈选明江西师范大学附属中学

强基计划数学试题普遍具有很好的区分度,突出了数学基础学科的引领作用,着力考查学生的综合素养和创新意识,体现了为高校选拔优秀人才的目标.平面向量在高中数学学习中属于工具性的专题,有关平面向量数量积的最值问题是近几年各校强基... 详细信息

强基计划数学试题普遍具有很好的区分度,突出了数学基础学科的引领作用,着力考查学生的综合素养和创新意识,体现了为高校选拔优秀人才的目标.平面向量在高中数学学习中属于工具性的专题,有关平面向量数量积的最值问题是近几年各校强基计划校考中的热点问题.这类平面向量题目立足于向量的基本知识点,同时综合了数学中的其他知识点(如三角函数等),对于数学综合能力的考查比较到位,属于难题,向量数量积最值问题的求解有以下三个方向.

关键词：基本知识点最值问题平面向量几何代数数量积三角函数综合素养强基

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并联机器人逆动力学建模的几何代数方法

机械工程学报 2022年第7期58卷 1-11页

作者：徐灵敏叶伟李秦川上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室上海200240 浙江理工大学机械与自动控制学院杭州310018

逆动力学建模是并联机器人动力学性能评估和实际控制的基础。以几何代数为数学工具,提出并联机器人的解析逆动力学建模通用方法。根据几何代数的外积性质,可直接确定并联机器人中各分支的关节速度和加速度幅值,建立机器人驱动速度和被... 详细信息

逆动力学建模是并联机器人动力学性能评估和实际控制的基础。以几何代数为数学工具,提出并联机器人的解析逆动力学建模通用方法。根据几何代数的外积性质,可直接确定并联机器人中各分支的关节速度和加速度幅值,建立机器人驱动速度和被动速度之间的映射关系,并推导出并联机器人分支中各杆件的速度和加速度。结合虚功原理建立并联机器人的逆动力学模型,并确定驱动力/力矩的解析表达式。关节速度和加速度计算不需要判断几何关系、进行求导或求偏微分,并且整个计算过程中仅涉及加法和乘法,无需求解符号线性方程组,提高计算效率。以六自由度并联机器人6-UPS和三自由度并联机器人2PUR-PRU为例(U:虎克铰,P:移动副,S:球铰,R:转动副),得到在给定轨迹下两个机器人驱动力的理论结果,通过与ADAMS软件仿真结果对比验证所提方法的正确性。同时,通过与基于牛顿-欧拉方程的自然正交补法进行计算效率对比,证明该方法具有计算高效的优点,可替代ADAMS仿真和原先方法用于并联机器人逆动力学建模及分析。

关键词：动力学建模并联机器人几何代数虚功原理

基于几何代数SURF的三维医学图像配准研究

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仪器仪表学报 2022年第9期43卷 227-237页

作者：程天宇顾菊平华亮赵凤申周伯俊南京理工大学自动化学院南京210094 南通大学电气工程学院南通226019

三维医学图像可辅助医生的临床诊疗,不同模态三维图像通过配准后,可为医生提供更全面的病患信息,而传统三维多模态医学图像配准的精度不高、耗时较长且易受干扰。首先搭建Hessian四维尺度空间,将加速稳健特征(SURF)框架拓展至三维,然后... 详细信息

三维医学图像可辅助医生的临床诊疗,不同模态三维图像通过配准后,可为医生提供更全面的病患信息,而传统三维多模态医学图像配准的精度不高、耗时较长且易受干扰。首先搭建Hessian四维尺度空间,将加速稳健特征(SURF)框架拓展至三维,然后基于几何代数构造了梯度角度不变性的三维特征点描述子,以丰富特征点信息;再设计快速空间寻优算法,不仅可保证配准精度,且提高配准稳定性;最后,采用数据一致性较好的RIRE公开数据集和合作附属医院提供的个性化临床实例数据开展实验。实验评估中,以手动配准作为金标准,公开库和临床实例图像的配准均值误差都不超过3 mm,配准相似性超过99.1%;抗扰实验中混入高斯噪声,均值误差仍不超过3.5 mm,相似性超过98.9%。实验结果表明,基于几何代数SURF的三维配准方法的精度更高且稳定性更强,可为临床适用提供理论基础与诊疗预案。

关键词：医学图像配准 SURF算法几何代数特征描述子快速空间寻优

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基于共形几何代数的七杆巴氏桁架位置分析

北京航空航天大学学报 2023年

作者：吴一帆黄昔光刘东裕北方工业大学机械与材料工程学院北京邮电大学自动化学院

基于几何代数理论完成了一种七杆巴氏桁架的位置分析。首先利用共形几何代数中的平移、旋转算子和几何学的公式表达，建立了各个运动点的位置坐标表达式。其次根据共形几何代数中内积的几何性质，计算出该机构的一元16次位置输入-输出... 详细信息

基于几何代数理论完成了一种七杆巴氏桁架的位置分析。首先利用共形几何代数中的平移、旋转算子和几何学的公式表达，建立了各个运动点的位置坐标表达式。其次根据共形几何代数中内积的几何性质，计算出该机构的一元16次位置输入-输出方程的实数解。最后将该高次方程求解出的实数解进行回代，得到各点的位置坐标，并最终通过数字实例验证了这种新方法的有效性。结果表明，新算法的几何直观性显著优于传统的复向量法、D-H矩阵法，它不仅可以避免矩阵运算和消元运算，且求解无增根也无漏根。

关键词：几何代数运动学分析七杆巴氏桁架几何直观性

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几何代数的高阶逻辑形式化

软件学报 2016年第3期27卷 497-516页

作者：马莎施智平李黎明关永张杰 Xiaoyu SONG 轻型工业机器人与安全验证北京市重点实验室(首都师范大学) 北京100048 首都师范大学成像技术北京市高精尖创新中心北京100048 北京数学与信息交叉科学2011协同创新中心北京100048 北京化工大学信息科学与技术学院北京100029 Electrical and Computer Engineering Portland State University

几何代数是一种用于描述和计算几何问题的代数语言,由于它统一表达分析和不依赖于坐标的几何计算等优点,现已成为数学分析、理论物理、几何学、工程应用等领域重要的理论基础和计算工具.然而,利用几何代数进行计算和建模分析的传统方法... 详细信息

几何代数是一种用于描述和计算几何问题的代数语言,由于它统一表达分析和不依赖于坐标的几何计算等优点,现已成为数学分析、理论物理、几何学、工程应用等领域重要的理论基础和计算工具.然而,利用几何代数进行计算和建模分析的传统方法,如数值计算方法和符号方法等,都存在计算不精确或者不完备等问题.高阶逻辑定理证明是验证系统正确的一种严密的形式化方法.在高阶逻辑证明工具HOL-Light中建立了几何代数系统的形式化模型,主要包括片积、多重矢量、外积、内积、几何积、几何逆、对偶、基矢量运算和变换算子等的形式化定义和相关性质定理的证明.最后,为了说明几何代数形式化的有效性和实用性,在共形几何代数空间中,给刚体运动问题提供了一种简单有效的形式化建模与验证方法.

关键词：几何代数形式化验证定理证明 HOL-Light 几何积

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几何代数在地理信息高维空间表达中的应用

武汉大学学报（信息科学版） 2020年第9期45卷 1328-1333页

作者：闾国年袁林旺俞肇元罗文周良辰闫振军虚拟地理环境教育部重点实验室(南京师范大学) 江苏南京210023

以欧氏几何为基础的信息框架对地理信息科学的发展起着重要作用。然而,由于欧氏空间对地理信息系统(geographic information system,GIS)中地理对象和现象的表达依赖于坐标系统以及对象具体坐标,使得基于欧氏空间的地理对象表达、计算... 详细信息

以欧氏几何为基础的信息框架对地理信息科学的发展起着重要作用。然而,由于欧氏空间对地理信息系统(geographic information system,GIS)中地理对象和现象的表达依赖于坐标系统以及对象具体坐标,使得基于欧氏空间的地理对象表达、计算和分析难以形成多维统一的运算规则和运算框架,增加了GIS算法的复杂度,降低了GIS分析效率。几何代数是一种以维度运算为基础的结合代数,在几何代数中,空间被定义为向量集合间的运算,空间维数直接由运算法则确定,可实现高维几何计算和分析的统一。基于几何代数统一的计算与分析框架对现有GIS进行构造,能够更好地对高维对象进行表达与分析,提升对复杂地理对象与动态地理现象的表达、时空多尺度分析以及不同尺度地理模型耦合集成的能力,有助于奠定GIS向实时动态、虚实融合、全视角、全要素、全内容表达的全息地图方向发展的理论基础。

关键词：几何代数虚拟空间高维表达

几何代数及其在摄动Kepler问题中的应用

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哈尔滨工业大学学报 2008年第2期40卷 282-286页

作者：方茹曹喜滨张锦绣哈尔滨工业大学数学系哈尔滨150001 哈尔滨工业大学卫星技术研究所哈尔滨150001

为避免卫星轨道摄动分析过程中多种代数系统繁琐的相互转换,创新性地引入几何代数系统,在统一的代数框架内研究摄动开普勒问题.利用几何代数体系中的位置空间与旋量空间之间的转换关系,将摄动Kep ler方程转化为线性、正则的旋量方程(简... 详细信息

为避免卫星轨道摄动分析过程中多种代数系统繁琐的相互转换,创新性地引入几何代数系统,在统一的代数框架内研究摄动开普勒问题.利用几何代数体系中的位置空间与旋量空间之间的转换关系,将摄动Kep ler方程转化为线性、正则的旋量方程(简称KS方程),并给出Kep ler旋量方程的解.最后,通过与传统方法比较,说明几何代数这种新工具在卫星轨道运动中应用的独特优势.

关键词：几何代数 Kepler方程旋量旋转

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多维向量场特征参数的几何代数统一计算方法

系统工程理论与实践 2013年第9期33卷 2390-2396页

作者：罗文袁林旺俞肇元易琳盛业华闾国年南京师范大学虚拟地理环境教育部重点实验室南京210023 南京师范大学江苏省大规模复杂系统数值模拟重点实验室南京210023

以几何代数多维统一运算为基础,探讨了多维向量场的多重向量表达与基本运算,给出了向量场微分的模板卷积计算方法.利用几何积对内外积的统一表达,建立散度和旋度的统一计算方法并进行算法实现.该方法不仅再现了向量场散度和旋度参数的... 详细信息

以几何代数多维统一运算为基础,探讨了多维向量场的多重向量表达与基本运算,给出了向量场微分的模板卷积计算方法.利用几何积对内外积的统一表达,建立散度和旋度的统一计算方法并进行算法实现.该方法不仅再现了向量场散度和旋度参数的几何关联性及其微分特性,更实现了多维统一与坐标无关的计算.基于北美风场的模拟实验显示,该算法比基于梯度的间接求解算法具有更好的对比度与平滑性特征,且具有较强的抗噪音能力,从而可为向量场数据分析提供新的思路与方法基础.

关键词：多维向量场特征参数几何代数旋度散度

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基于几何代数的多环耦合机构自由度计算方法

基于几何代数的多环耦合机构自由度计算方法

作者：郭进群浙江理工大学

学位级别：硕士

多环耦合机构大多应用在航天航空,仿生机器人、深空探测、建筑设计和户外活动等领域。而自由度作为机构的基本属性,在多环耦合机构的开发和应用上具有重要意义。其中多环耦合机构分支的耦合特性一直是提出普适性自由度计算方法的重点难... 详细信息

多环耦合机构大多应用在航天航空,仿生机器人、深空探测、建筑设计和户外活动等领域。而自由度作为机构的基本属性,在多环耦合机构的开发和应用上具有重要意义。其中多环耦合机构分支的耦合特性一直是提出普适性自由度计算方法的重点难点,本文以此为切入点进行研究,全文主要工作和成果如下:提出一种几何代数框架下的多环耦合机构自由度计算方法,将耦合构件进行等效得到机构拓扑图,找到连接机架与输出构件的最短分支。通过修正分支上与耦合闭环耦合的运动空间,从而修正分支的运动空间。最后对所有修正后的分支运动空间求交,得到输出构件的运动空间。将输出构件运动空间解耦成相应的单自由度运动解析式,可得到输出构件全周自由度性质。根据耦合闭环的分布,将多环耦合机构进行分类:单分支耦合,分支间耦合以及混合耦合多环耦合机构。提出几何代数框架下单分支和分支间耦合的多环耦合机构自由度计算方法。对每条分支上与耦合闭环耦合部分遵循机架到输出构件的顺序依次修正。每次修正时只考虑闭环对一条分支的影响。将所有修正部分与未耦合的运动螺旋求并集,得到修正的分支运动空间。对所有修正后的分支运动空间求交集,得到输出构件的运动空间。提出几何代数框架下混合耦合多环耦合机构的自由度计算方法。当闭环存在耦合情况时,要遵循小闭环先分析原则,对闭环存在的耦合部分先进行修正,减少不必要的计算成本。将所有修正部分与未耦合的运动螺旋求并集,得到修正的分支运动空间。对所有分支运动空间求交集,得到输出构件的运动空间。提出一种基于输入传递指标(input transmission index,ITI)的多环耦合机构较优驱动方案选取方法。根据输出自由度解析式中的独立变量,选取可行驱动方案,通过计算每组驱动方案在工作范围内的ITI分布,选取性能分布较好的一组作为机构的输出方案,为多环耦合机构的驱动方案选取提出一种新思路。通过上述工作,一定程度上证明了本文提出的基于几何代数的多环耦合机构自由度计算方法的普适可行性,并给困扰多环耦合机构的驱动选取问题提出了新的解决思路。

关键词：多环耦合机构几何代数自由度邻接矩阵自由度解耦