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西安公路学院学报 1994年第4期14卷 132-134页

作者：张克勤李登弟空军导弹学院交通信息与控制工程系

本文给出了通过适当分解全微分方程Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０中的Ｍ（ｘ，ｙ）和Ｎ（ｘ，ｙ），然后作不定积分求出二元函数Ｕ（ｘ，ｙ），从而求得方程通解Ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｃ的一种方法。

关键词：全微分方程分解求积通解

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全微分方程的积分因子的存在性

数学的实践与认识 1990年第4期20卷 72-73,60页

作者：陈维桓北京大学北京100871

本文给出两个变量的全微分方程积分因子存在性的初等的直接证明,弥补了教科书中的不足。

关键词：全微分方程积分因子存在性

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全微分方程的推广

曲阜师范大学学报(自然科学版) 1984年第4期 61-66页

作者：吴大坤

我们把含两个变量的全微分方程的定义推广到n个变量的情况:若方程P(x,x,…,x)dx+P(x,x,…,x)dx+…+P(x,x,…,x)dx=0(1)的左边恰是n元函数u=u(x,x,…,x)的全微分du=P(x,x,…,x)dx+P(x,x,…,x)dx+…+P(x,x,…,x)dx则称方程(1)叫含n个变量... 详细信息

关键词：全微分方程恰当方程积分因子矢量场向量场单连域判定定理

空间中的两个问题及全微分方程的一个问题研究

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空间中的两个问题及全微分方程的一个问题研究

作者：袁娜贵州师范大学

学位级别：硕士

距离和夹角是几何学中的基本概念.在3维欧氏空间E中,两个子空间的距离和夹角可以通过比较简单的计算求出来.但是在n维欧氏空间E中,对于子空间的距离和夹角我们还没有一个比较系统的结论及证明过程. 在本文中我们将通过代数与几何知识相... 详细信息

距离和夹角是几何学中的基本概念.在3维欧氏空间E中,两个子空间的距离和夹角可以通过比较简单的计算求出来.但是在n维欧氏空间E中,对于子空间的距离和夹角我们还没有一个比较系统的结论及证明过程. 在本文中我们将通过代数与几何知识相结合的方法,计算出子空间的距离,并对夹角进行讨论:定义1(单形) 设在n维欧氏空间E里,已给n+1个点,它们不在维数小于n的线性空间里,我们引进以下的坐标系: 取所给的n+1个点之一为原点O,则E的每一点X都可以写成其余n个点x,x,…,x的线性组合其中a为实数,(1)坐标满足不等式:的点的集合叫做以O,x,x,…,x为顶点的n维单形.引理1设x,x,…,x是L中r+1个点,x是活动标架(x;e,…,e)的原点,L由点x和e,…,e决定,且如果用S来表示以L中的点x,x,…,x为顶点的单形的体积,则 r!S=det(λ).(3) 又因为Hadwiger已证明了 S=1/d×H×S′,(4)其中d是单形的维数,H是单形的高,S′是单形的底体积(见[6]). 由(3)式和(4)式我们可以得到r维单形的高为 H=(det(λ))/(det(λ)),i,j=1,…,r;l,m=1,…,r-1.(5)定义2(仿射空间)设(?)为n维向量空间,以此空间为基础可决定仿射空间V如下: (1).对于V的任意两点p,q(考虑顺序),对应一个向量(?),称之为从点p到q的向量;(2).对于V的三点p,q,r,对p,q有V的(?)对q,r有V的(?)与之对应,则对p,r有(?)与之对应. 换句话说:仿射空间就是一个向量空间,我们在其中引进线性变换-平移,从而忘掉0这个点的特殊性. 如果在仿射空间里基本的向量空间是欧氏向量空间时,则此仿射空间为欧氏空间.注:在本文中,欧氏子空间简称为子空间. 在E中,我们已有两异面直线的距离表达式,即:引理2设L,L′是E中的两条异面直线,设,则L和L′之间的距离为: 现在我们把它推广到E中:设L和L分别是n维欧氏空间E中的p维和q维子空间若,我们把L和L之间的距离记为d(L,L),如果平移L到L′,则L′与L相交于一点,记为x,L′与L相交后所在的空间记为L,它的维数是p+q.这时我们如果取一底面在L,顶点在L的p+q+1维单形,则单形的高H是垂直于底面的,即H⊥L,所以我们就有:H⊥L且H⊥L,即 d(L,L)=H=(det(λ))/(det(λ))(7)其中i,j=1,…,p+q+1;l,m=1,…,p+q. 然后利用Gram行列式的表达式得到定理1设L和L分别是n维欧氏空间E中的p维和q维子空间,设是L的一个标架,是L的一个标架,则子空间L和L之间的距离为(8) 周家足在[15]中给出了线性子空间夹角定义: 设l,…,l是(?)的法空间N((?))的标准正交基,l′,…,l′是(?)的法空间N((?))的标准正交基我们把(?)和(?)之间的夹角定义为 (10)且 (11)引理3如果(?)和(?)都是n-1维的线性子空间,设θ为N((?))与N((?))之间的夹角,则△((?),(?))=|sinθ|,显然 0≤△≤1,(12)且当(13) 当如果g是E中的一个线性等距变换,则有△(g(?),g(?))=△((?),(?)). 若p≠n-1,q≠n-1,且p+q-n≥0,我们同样可以证明两线性子空间的夹角范围为0≤△≤1,且可以转换为证明以下代数定理,即定理2若,则: 0≤|detA|≤1.(14) 当时,|detA|=1;当时,|detA|=0. 事实上,在定理2中,如果且其中i≠j,则△=|det(A)|即△=|det(A)|,从而得到定理3设(?)和(?)分别是p维和q维的线性子空间,且它们的维数满足p+q-n≥0,设(?)和(?)间的夹角为△,则 0≤△≤1,(15)且当时,(16) 当时, 由定义2及定理3得到:推论设L和L分别是p维和q维的子空间,且它们的维数满足p+q-n≥0,设L和L间的夹角为△,则 0≤△≤1,(17)且当时,(18) 当时, 又由(3)式知,d(λ),(i,j=1,…,r)为r(≥3)维平行六面体的体积,所以由定理2还可以得到定理4设L为r(≥3)维平行六面体,设x为它的一个顶点,则顶点在x的边记为,记L的体积为V,若则 0＜V≤1.(19)当时,V=1. 特别地,当(?),i=1,…,r是标准正交向量时,V=1.这时L为一r维单位立方体. 全微分方程是方程的一个重要类型,研究它的一系列性质是非常有必要的,而利用方程的完全可积性是我们求解方程的重要工具.对于全微分方程来说,如果用其它的手段计算它完全可积的充要条件是非常复杂困难的,但如果我们利用Phaff方程组的Frobenius条件证明将很简洁,且可以把它推广到流形上.定义3(Frobeniu

关键词：欧氏子空间线性子空间距离夹角 Gram行列式单形 Hadamard不等式平行六面体 Frobenius条件 Phaff方程组全微分方程完全可积

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全微分方程教学法初探

高等数学研究 1994年第2期 21-22页

作者：陈民升

高数教材中“全微分方程”一节写的较少.为了让学生对全微分方程的解法有更多的了解,我取教材中一道习题,一题多解.把解全微分方程常用的几种方法向学生做了讲解.

关键词：全微分方程教学法方程的解法积分变量通解不定积分法曲线积分教材中与路径无关组合法

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全微分方程的求解方法研究

电子技术（上海） 2020年第11期49卷 142-143页

作者：于娟新疆大学数学与系统科学学院新疆830046

阐述一阶恰当微分方程的定义,结合学生的接受能力给出合理能够让学生理解的恰当微分方程的求解方法,从而使学生能够掌握这类方程的求解思路和方法。

关键词：恰当微分方程微分方程的解全微分方程

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全微分方程与积分因子法

桂林电子工业学院学报 2002年第2期22卷 10-12页

作者：徐安农段复建桂林电子工业学院计算科学与应用物理系广西桂林541004

在常微分方程理论的形成过程中 ,求解一阶微分方程曾出现过许多方法 ,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等。其中尤以积分因子法出现的最晚 ,而作用也最大。

关键词：全微分方程积分因子通解一阶微分方程

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全微分方程的一种新解法及其应用

新课程(中) 2014年第2期 4-5页

作者：王丹朱晓峰北京印刷学院基础部

通过对实例的分析,引出判断及求解全微分方程的两个定理并给予证明,探究两个定理在与路径无关的平面曲线积分上的应用。

关键词：全微分方程交叉项不定积分

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全微分方程的不定积分解法及其证明

高等数学研究 2002年第2期5卷 20-21页

作者：资治科中南民族学院化学系

0 引言一个一阶微分方程写成P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(1)形式后,如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy那么方程(1)就叫做全微分方程.这里(u)/(x)=P(x,y), (u)/(y)=Q(x,y)方程(1)就是du(x,y)=0,其通解为:u(x,y)=C (C为常数)可见,解全微分方程的关键在于求原函数u(x,y).因此,本文将提供一种求原函数u(x,y)的简捷方法,并给出证明.

关键词：全微分方程不定积分解法证明通解

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全微分方程与积分因子定义的修正

高等数学研究 2018年第3期21卷 7-9页

作者：郭三刚陕西理工大学数学与计算机科学学院陕西汉中723000

一个方程是否为全微分方程,或者一个方程是否有积分因子,都与方程的定义区域密切相关.本文纠正了通行教材中全微分方程和积分因子的不严谨的定义,并修正了全微分方程判定定理和方程仅有依赖于单个变量积分因子的判定定理.

关键词：单连通区域复连通区域全微分方程积分因子