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几类非线性矩阵方程正定解的数值方法研究

几类非线性矩阵方程正定解的数值方法研究

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作者：熊昊广西民族大学

学位级别：硕士

随着科技发展,人们在控制理论、动态规划、卡尔曼滤波、最优插值、工程计算等领域归结出许多不同类型的非线性矩阵方程.从而将这些领域中的实际问题转化为非线性矩阵方程的求解问题,对这些方程寻求可行有效的数值求解方法,一直备受国内... 详细信息

随着科技发展,人们在控制理论、动态规划、卡尔曼滤波、最优插值、工程计算等领域归结出许多不同类型的非线性矩阵方程.从而将这些领域中的实际问题转化为非线性矩阵方程的求解问题,对这些方程寻求可行有效的数值求解方法,一直备受国内外学者关注,是矩阵代数领域的一个研究热点.本文主要运用矩阵理论等相关知识,讨论三类非线性矩阵方程的Hermite正定解问题.具体内容由5个章节组成,概述如下:第1章,介绍非线性矩阵方程的研究背景及国内外发展现状,提出本文的主要研究内容并给出一些基本概念及相关引理.第2章,讨论非线性矩阵方程X-BX-C=0的Hermite正定解.先给出与原方程同解且具有对称结构的非线性矩阵方程,再对系数矩阵B分别为正定、负定、不定3种情况构造出相应的迭代格式,并根据每种迭代的特点给出迭代初始矩阵的选取方法.第3章,讨论非线性矩阵方程X±A(R+BX B)A=Q的Hermite正定解.首先给出方程X+A(R+BX B)A=Q存在正定解的充分条件,并构造出求解该方程的不动点迭代和免逆迭代.其次利用Thompson度量的性质和闭凸集上单调算子不动点定理,给出方程X-A(R+BX B)A=Q存在正定解的充分和必要条件,建立相应的迭代格式并证明其收敛性.第4章,讨论非线性矩阵方程X-AXA+BXB=Q的Hermite正定解.通过矩阵变换把原问题转化为一个等价矩阵方程的求解问题,然后利用系数矩阵及其偏序构建出方程正定解的取值范围及三种迭代格式,并分别证明所给迭代在一定条件下均收敛到原方程的正定解.第5章,对本文研究工作进行总结,提出一些后续研究设想.

关键词：非线性矩阵方程 Hermite正定解不动点迭代免逆迭代 Thompson度量收敛性

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几类矩阵方程特殊解的计算

几类矩阵方程特殊解的计算

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作者：徐露萍青岛科技大学

学位级别：硕士

非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域讨论的重要课题之一,它在最优控制理论、梯形网络、动态规划、随机过滤等领域均有广泛的应用.迭代法是求解非线性矩阵方程常用的方法,但在采用迭代法求解非线性矩阵方程时,经常会出现解的... 详细信息

非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域讨论的重要课题之一,它在最优控制理论、梯形网络、动态规划、随机过滤等领域均有广泛的应用.迭代法是求解非线性矩阵方程常用的方法,但在采用迭代法求解非线性矩阵方程时,经常会出现解的收敛速度缓慢、计算量大的问题.近年来,我们较多采用不动点迭代法和免逆迭代法求解非线性矩阵方程,其中免逆迭代法大大地简化了计算的复杂度.基于Kronecker积的性质,首先得到了非线性矩阵方程X + A*(Im(?)X-C)A = Q(t>0)存在Hermitian正定解的充分必要条件;其次,运用有界序列的收敛原理,分别提出了求解方程的不动点迭代法和免逆迭代法;最后,通过数值例子验证了这两种迭代方法的有效性.我们也考虑非线性矩阵方程X+A*X A+B*XB = I(s,t,t>0).首先得到方程存在Hermitian正定解的一些新的条件和唯一 Hermitian正定解存在的充分条件,并通过对s,t,t取值范围的讨论,给出了方程解的存在区间;其次,构造了求解方程的不动点迭代法;最后,通过数值例子验证了迭代方法是行之有效的.进而,我们研究了非线性矩阵方程组首先得到方程组存在正定解的条件;其次,提出了求解方程组的不动点迭代法;最后,通过数值例子验证了迭代方法的有效性.最后,我们研究了非线性矩阵方程组分别运用最速下降法和Newton法求解方程组的最小二乘解,并且通过具体的数值例子验证了 Newton法的有效性.

关键词：非线性矩阵方程(方程组) Hermitian 正定解不动点迭代免逆迭代最小二乘解

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