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二阶椭圆界面问题浸入界面有限元方法的多重网格算法

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二阶椭圆界面问题浸入界面有限元方法的多重网格算法

作者：冯亚芳南京师范大学

学位级别：硕士

本文针对二阶椭圆界面问题浸入界面有限元方法提出了多重网格求解算法.论文首先介绍了求解二阶椭圆界面问题的浸入界面有限元方法,接着,构造出网格间的转移算子,证明了转移算子的稳定性和逼近性,然后,我们提出了 W循环多重网格算法,给... 详细信息

本文针对二阶椭圆界面问题浸入界面有限元方法提出了多重网格求解算法.论文首先介绍了求解二阶椭圆界面问题的浸入界面有限元方法,接着,构造出网格间的转移算子,证明了转移算子的稳定性和逼近性,然后,我们提出了 W循环多重网格算法,给出了光滑性和逼近性的证明,并证明了该算法的收敛性.最后,文章通过数值实验验证了理论结果.

关键词：二阶椭圆界面问题浸入界面有限元多重网格算法

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二阶椭圆界面问题的混合元方法及其理论分析

二阶椭圆界面问题的混合元方法及其理论分析

作者：张聪聪山东师范大学

学位级别：硕士

在工农业生产及其科学研究中,大量的实际问题可由具间断系数的二阶椭圆方程刻画,这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面问题,间断面称之为界面.由于解在界面上的跳跃，界面问题解的整体光滑性通常较差,仅... 详细信息

在工农业生产及其科学研究中,大量的实际问题可由具间断系数的二阶椭圆方程刻画,这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面问题,间断面称之为界面.由于解在界面上的跳跃，界面问题解的整体光滑性通常较差,仅为H1+α(Ω),0≤a界面跳跃条件(守恒律)的二阶椭圆问题对区域采用沿界面拟合的网格剖分,提出能够同时高精度逼近未知函数和伴随向量的混合有限元数值模拟方法,以期得到对界面问题良好的近似.该文的论证表明，该方法对于未知函数及其伴随向量都得到在分片Sobolev空间范数意义下的的最优L2逼近精度,收敛阶可以达到O(hk+1),其中k为空间的多项式次数.这在实际应用中具有十分重要的意义，同时在实际的工程中不仅要求对未知函数(如渗流问题中流体的浓度等)进行精确刻画,还更加关注伴随梯度向量(如渗流问题中流体的通量等)的精确描述.理论研究和数值试验均表明,该方法较好的克服了传统数值方法因真解光滑性低而导致的低收敛精度,可得到对该类问题的真解及其伴随向量在分片Sobolev空间范数意义下的的最优L2逼近精度.由于上述方法要求剖分依赖于界面,具有一定的约束性,因此我们考虑当网格剖分不沿界面拟合时混合有限元方法的有效性.通过三个数值试验表明,网格不依赖于界面的混合有限元方法也是解决二阶椭圆界面问题的一种有效方法,但是与网格拟合界面的情形相比,伴随梯度向量的误差阶相对差一些.

关键词：二阶椭圆界面问题界面跳跃条件界面拟合网格混合有限元方法最优逼近精度数值试验

三维空间中二阶椭圆界面问题的浸入有限元方法

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三维空间中二阶椭圆界面问题的浸入有限元方法

作者：张帅山东师范大学

学位级别：硕士

由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面间题,间断面称之为界面.在工程计算、数值模拟以及现实应用中存在大量的界面问题,如材料科学中具有不同密度的材料所构成的复合材料问题;渗流力学中复杂地质结构或多相... 详细信息

由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面间题,间断面称之为界面.在工程计算、数值模拟以及现实应用中存在大量的界面问题,如材料科学中具有不同密度的材料所构成的复合材料问题;渗流力学中复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题等,以上界面问题可由具间断系数的二阶椭圆方程刻画.若界面充分光滑,则界面问题的解在各系数光滑的的区域上也是光滑的,但通常情况下在界面上,解的跳跃服从某种意义下的守恒律.由于界面间断系数的存在,界面问题解的整体光滑性通常为H1+α(Ω),0≤α界面几何形状的不规则,通常的有限元数值方法难以得到理想的逼近精度和逼近效果.目前,处理界面问题较为有效的有限元方法可分为两类：一类是界面拟合有限元方法,即沿界面进行网格剖分的有限元方法;第二类为界面浸入有限元方法,该方法的网格剖分不依赖于界面线,但其有限元空间的构造借助于界面跳跃条件实现.目前对浸入有限元方法的研究均在一维和二维空间下进行,而三维空间中的浸入有限元方法更加复杂,并且在实际应用中十分重要.本文中,我们通过建立非协调的浸入有限元空间对三维空间Ω中具有界面跳跃条件的二阶椭圆界面问题运用浸入有限元方法进行数值分析.基于界面跳跃条件和标准线性元的构造,证明了三维问题的界面浸入有限元空间可由单元顶点函数值与界面跳跃条件唯一确定.在此基础上,定义了问题的界面浸入有限元格式并证明了格式解的存在唯一性.借助多点Taylor展开的技巧得到了三维浸入有限元空间的最优插值误差估计.结果说明,三维浸入有限元空间与标准的线性有限元空间具有相同的逼近性质.最后,通过引入迹空间并利用插值误差估计的结果,得到了有限元解的最优误差估计.

关键词：三维空间二阶椭圆界面问题浸入有限元空间逼近性质最优误差估计

基于Crouzeix-Raviart元的界面浸入有限元方法及其收敛性分析

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计算数学 2012年第2期34卷 125-138页

作者：王淑燕陈焕贞山东师范大学数学科学学院济南250014

本文对具间断系数的二阶椭圆界面问题提出一种浸入有限元方法(the immersed finite elementmetthod),即在界面单元上采用依赖于界面的线性多项式空间离散,而在非界面单元上采用Crouzeix-Raviart非协调元离散.论证表明,该方法具有对界面... 详细信息

本文对具间断系数的二阶椭圆界面问题提出一种浸入有限元方法(the immersed finite elementmetthod),即在界面单元上采用依赖于界面的线性多项式空间离散,而在非界面单元上采用Crouzeix-Raviart非协调元离散.论证表明,该方法具有对界面问题解的最优L^2-模和H^1-模收敛精度.

关键词：二阶椭圆界面问题浸入有限元 Crouzeix—Raviart元最优误差估计

基于Crouzeix-Raviart元的界面浸入有限元方法及其收敛性分析

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基于Crouzeix-Raviart元的界面浸入有限元方法及其收敛性分析

作者：王淑燕山东师范大学

学位级别：硕士

具间断系数的二阶椭圆方程刻画了诸如材料科学中具有不同密度的材料所构成的复合材料问题;在渗流力学中,复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题等.这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我... 详细信息

具间断系数的二阶椭圆方程刻画了诸如材料科学中具有不同密度的材料所构成的复合材料问题;在渗流力学中,复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题等.这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现跳跃的现象,我们称之为界面问题,间断面称之为界面.本文旨在对下列刻画界面问题的具间断系数的二阶椭圆方程建立浸入有限元方法(the immersed finite element method),以期达到对界面问题较标准有限元方法有更好的逼近性质.注意到Crouzeix—Raviart非协调有限元构造的简单性以及在处理平面弹性问题所具有的"locking free"性质,我们提出了基于Crouzeix—Raviart非协调有限元的界面浸入有限元方法,即在界面单元上构造依赖于界面的线性多项式空间,而在非界面单元上采用Crouzeix—Raviart元空间,从而构造出了非协调界面浸入有限元空间.进一步,提出了数值求解上述问题的界面浸入有限元格式,证明了该格式解的存在唯一性.最终采用尺度论证、迹定理以及分数次空间中等价范数定义,证明了该方法具有对界面问题解的最优H1和L2逼近精度,收敛阶分别为O(h)和O(h2).我们还对[26],[29],[35],[36]中提出的界面浸入有限元方法的收敛性给出了一种更为直接、简洁的证明方法.通过采用双线性引理,Bramble—Hilbert引理,尺度论证,迹定理等有限元数值分析的常规方法,证明了离散格式对于真解u的最优H1和L2收敛精度,收敛精度仍然为O(h)和O(h2).

关键词：二阶椭圆界面问题浸入有限元 Crouzeix-Rauiart元最优误差估计

正交各向异性界面问题的浸入有限元方法及其收敛性分析

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正交各向异性界面问题的浸入有限元方法及其收敛性分析

作者：张庆祝山东师范大学

学位级别：硕士

具有间断系数的二阶椭圆方程刻画了诸如渗流力学中复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题;在材料力学中,具有不同密度的材料所构成的复合材料问题等等,这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现光滑性降... 详细信息

具有间断系数的二阶椭圆方程刻画了诸如渗流力学中复杂地质结构或多相流体导致具有间断渗透率或扩散系数的溶混驱动问题;在材料力学中,具有不同密度的材料所构成的复合材料问题等等,这类由间断系数所导致的真解在间断面上出现光滑性降低的现象,我们称之为界面问题,间断面称之为界面。若界面充分光滑,则界面问题的解在各系数光滑的的区域上也是光滑的,但通常情况下在界面上,解的跳跃服从某种意义下的守恒律。由于解在界面上的跳跃,界面问题解的整体光滑性通常为H1+α（Ω）,0≤α＜1。正是由于解的整体光滑性差以及界面几何形状的不规则,通常的有限元数值方法难以得到理想的逼近精度和逼近效果。界面浸入有限元方法[4,9,14,17]是数值模拟各向同性介质中二维界面问题的有效手段。在三角剖分情形,[17]已证明了界面浸入有限元方法具有对界面问题解的最优H1和L2收敛性估计。但对矩形剖分,尽管数值实验表明有限元解可以达到最优的能量模估计[14,24],但理论上目前仅能得到最优插值估计和有限元解的次最优能量模误差估计。本文旨在对下列在正交各向异性介质中具间断系数的二阶椭圆界面问题建立矩形剖分下的浸入有限元方法,并探究所提方法的收敛性质。我们将β（x）为纯量函数（对应于各向同性地质结构）情形下的界面浸入有限元方法推广到β（x）为对角正定矩阵（对应于正交各向异性地质结构）情形。基于界面跳跃条件和标准双线性元的构造,证明了问题的界面浸入有限元空间可由界面单元顶点函数值与界面跳跃条件唯一确定,从而,完成了当口（x）为对角正定矩阵时矩形剖分下的有限元空间的构造。在此基础上,定义了问题的界面浸入双线性有限元格式并证明了界面浸入格式解的存在唯一性。借助于非协调有限元误差估计中Strang引理,双线性引理,尺度论证,迹定理以及分数次空间上等价范数等数值分析技术,证明了当β为对角正定矩阵时的界面浸入有限元解具有与β为纯量函数时相同的最优H1和L2收敛精度,收敛阶分别为O（h）和O（h2）,从而建立了多孔介质中矩形剖分下正交各向异性界面模型的浸入有限元数值方法及其数值分析理论。

关键词：各项异性流二阶椭圆界面问题浸入有限元空间双线性有限元方法最优误差估计