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作者：陈思慧华东师范大学

学位级别：硕士

分数阶p-Laplace算子是一类非局部椭圆算子,这类算子常运用于不同实际问题中,例如最优化问题、相位变换问题、半透膜问题等。解决这类算子问题常用方法多为变分法,但本文主要应用Morse理论来研究一类分数阶p-Laplace方程解的存在性和多... 详细信息

分数阶p-Laplace算子是一类非局部椭圆算子,这类算子常运用于不同实际问题中,例如最优化问题、相位变换问题、半透膜问题等。解决这类算子问题常用方法多为变分法,但本文主要应用Morse理论来研究一类分数阶p-Laplace方程解的存在性和多重性。我们先介绍了分数阶p-Laplace算子(?)的相关概念和基本知识,然后给出了一些临界条件,根据对应的条件应用隐函数定理、嵌入定理等分别讨论在零点处和在无穷远处的临界群,最后结合不同的临界群应用Morse理论等证明了分数阶p-Laplace方程解的存在性和多重性。

关键词：分数阶p-Laplace算子非平凡解隐函数定理临界群 Morse理论

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四阶微分方程Neumann边值问题

四阶微分方程Neumann边值问题

作者：张炎彪山西大学

学位级别：硕士

在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程Neumann边值问题：两个变号解的存在性。论文分三章：第一章为引言;在第二章中，我们介绍了一些预备知识，证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维Morse理论得出了方程(1．1)至少... 详细信息

在这篇文章中，我们主要研究四阶微分方程Neumann边值问题：两个变号解的存在性。论文分三章：第一章为引言;在第二章中，我们介绍了一些预备知识，证明了一些引理，并且用拓扑度理论，变分方法和无穷维Morse理论得出了方程(1．1)至少有一个正解，一个变号解，进一步用临界群计算出了第一个变号解的不动点指数，这个结果用传统的临界点理论和不动点指数理论是无法得到的;在第三章中，我们应用第二章的结论，通过简单的计算，得到了第二个变号解的存在性。近年来，许多作者研究了四阶微分方程Drichlet边值问题：得到了许多好的结果，如[5，9，12，13]。但是很少有人研究方程(1．1)。主要的原因有三方面：(1)如果用传统的拓扑度理论，则与研究方程(1．1’)没有本质的区别，(2)很难应用传统的变分方法把方程(1．1)转化成H[0，1]中的泛函来研究，(3)对孤立临界点的性质缺乏更进一步的描述。在这篇文章中，我们用K的平方根算子和Morse理论避免了上述三个方面的困难，得出了用传统的拓扑度理论无法得到的结果。本文的另一创新之处在于非线性项f在无穷远点是跳跃的，这使得我们无法应用普通的方法来证明P．S条件。在文[4]中，作者在较强的条件下(f在无穷远点是非跳跃且次线性的)证明了方程(1．1’)至少有一个正解，一个变号解和另外一个非平凡解。本文在较弱的条件下证明了第二个变号解的存在性，这是本文的又一创新。我们总假设f满足下面的条件：(f) f∈C([0，1]×R，R)且f是递增的;(f)对任意的t∈[0，1]，f(t，0)=0，且对某个k≥2，有λ＜f′(t，0)＜λ;(f) lim supf(t，u)／u＜λ，对t∈[0，1]一致成立;(f)λ＜lim inff(t，u)／u≤lim supf(t，u)／u＜+∞，对t∈[0，1]一致成立;这里λ是方程(1．1)的特征值，λ＞0，k∈N。下面，我们介绍本文的主要结果定理1．1．假设(f)-(f)成立，则方程(1．1)至少有一个正解，两个变号解。

关键词：变号解 Neumann边值问题不动点指数临界群

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二阶共振离散问题解的多重性

二阶共振离散问题解的多重性

作者：覃舟太原理工大学

学位级别：硕士

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了二阶共振离散边值问题解的多重性。其中Z [1 ,N]= {1,2,,N}, f∈C1 ( Z[1,N]×R1,R1), f (t ,0)=0,Δ为向前差分算子,即Δu (t )=u(t+1)?u(t),Δ2 u ... 详细信息

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了二阶共振离散边值问题解的多重性。其中Z [1 ,N]= {1,2,,N}, f∈C1 ( Z[1,N]×R1,R1), f (t ,0)=0,Δ为向前差分算子,即Δu (t )=u(t+1)?u(t),Δ2 u (t)=Δ(Δu(t))。并且f在零点和无穷远点都满足共振条件。全文共分三章。第一章介绍了离散问题的研究背景、主要研究方法及本文的工作。第二章介绍了本文所要用到的有关临界点的基本理论,同时研究了问题(1.2.1)所对应的能量泛函J满足的若干基本性质。第三章给出了本文主要结果的证明。分别记其中λn ,λm是问题(1.2.1)所对应的线性特征值问题的两个特征值。假设则本文的主要结果为定理1.2.1如果下列假设条件之一成立,则问题(1.2.1)至少存在五个非平凡解:

关键词：离散边值问题共振多解性临界点临界群 Morse理论

一类2m阶微分方程Dirichlet边值问题的解

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一类2m阶微分方程Dirichlet边值问题的解

作者：孙娟山西大学

学位级别：硕士

在这篇论文中,我们主要研究如下2m阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性与多解性:其中(?)为2m阶线性微分算子，(?). 在[3]中,作者用强单调算子原理和临界点理论得到边值问题(1.1)有唯一解,至少有一个非平凡解,有无穷多个解的存在性结... 详细信息

在这篇论文中,我们主要研究如下2m阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性与多解性:其中(?)为2m阶线性微分算子，(?). 在[3]中,作者用强单调算子原理和临界点理论得到边值问题(1.1)有唯一解,至少有一个非平凡解,有无穷多个解的存在性结果.在[5]中,作者运用Morse理论对四阶微分方程Dirichlet边值问题解的存在性和多解性进行了研究,而[11]用同样的方法研究了四阶含参数微分方程Dirichlet边值问题.另外, [4]应用环绕定理和临界点理论研究了四阶含参数微分方程Dirichlet边值问题.受此启发,我们把上述方法用于研究边值问题(1.1). 本文包括三章:第一章为引言;第二章为预备知识,给出了一些必要的引理、定理;第三章为主要结论及其证明. 在本文,我们首先参考文章[3]将Dirichlet边值问题(1.1)转化为积分方程.然后运用K和Morse理论,通过改变f所满足的条件,得到边值问题(1.1)解的存在性和多解性定理. 我们将线性微分算子L的特征值(?)按照从小到大的顺序进行排列,记为λ 0,使得对t∈[0,1],|x|≥R都有0

关键词： 2m阶Dirichlet边值问题非平凡解多解环绕定理临界群 Morse不等式

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基尔霍夫型方程解的存在性

基尔霍夫型方程解的存在性

作者：王振婷北方工业大学

学位级别：硕士

本文利用变分法,Morse理论以及临界群在同伦不变式的中保持不变的性质性研究在有界区域上,泛函在非共振条件或者共振条件下基尔霍夫型方程解的存在性,并在此条件下找到临界群的孤立的临界点。将得到的结果进行强制限制,并利用变分法,三... 详细信息

本文利用变分法,Morse理论以及临界群在同伦不变式的中保持不变的性质性研究在有界区域上,泛函在非共振条件或者共振条件下基尔霍夫型方程解的存在性,并在此条件下找到临界群的孤立的临界点。将得到的结果进行强制限制,并利用变分法,三临界点定理,山路引理证明了基尔霍夫型方程至少存在三个非平凡解.我们研究的是下面的基尔霍夫型方程其中a,b>0是实常数,假设(f0)/∈C1(ΩxR,R),/(x,0)=0,则存在常数c>0使得|f'(x,u)|≤c(1+|u|r-2),2≤r0使得ug(x,u)≤0,|u|临界点,并且C*(I,0)=δ*,kF定理1.2 如果条件(f0),(f1)和(f2)成立以及λ=λ1,那么u=0是泛函I的孤立临界点,并且C*(I,0)=δ*,0F假设(f3)存在M>0和β

关键词：基尔霍夫型方程临界群多解 Morse理论

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二阶双共振离散边值问题解的多重性

二阶双共振离散边值问题解的多重性

作者：崔东霞太原理工大学

学位级别：硕士

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论、Morse理论以及临界群的计算研究了二阶双共振离散边值问题解的多重性。其中是向前差分算子,即并且f在无穷远点满足双共振条件。全文共分三章。第一章主要介绍了离散边值问题的研究... 详细信息

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论、Morse理论以及临界群的计算研究了二阶双共振离散边值问题解的多重性。其中是向前差分算子,即并且f在无穷远点满足双共振条件。全文共分三章。第一章主要介绍了离散边值问题的研究背景及研究方法。第二章主要介绍了本文所要用到的有关临界点理论与Morse理论的一些基础知识,并且导出了问题(1.1.1)所对应的能量泛函J ,同时证明了J所满足的一些基本性质。第三章运用临界点定理、Morse理论以及临界群的计算研究了问题(1.1.1)解的多重性,并且在一定的假设条件下,分别证明了问题(1.1.1)至少存在三个、四个及六个非平凡解。

关键词：双共振变分方法临界点理论 Morse理论临界群

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四阶离散共振问题非平凡解的存在性

四阶离散共振问题非平凡解的存在性

作者：李小艳太原理工大学

学位级别：硕士

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了四阶离散共振边值问题非平凡解的存在性.其中△是向前差分算子,即△u(k)=u(k+1)-u(k),△nu(k)=△(△n-1u(k)),Z[a+1,6+1]={a+1,a+2,…,6+1},a,6为整... 详细信息

本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了四阶离散共振边值问题非平凡解的存在性.其中△是向前差分算子,即△u(k)=u(k+1)-u(k),△nu(k)=△(△n-1u(k)),Z[a+1,6+1]={a+1,a+2,…,6+1},a,6为整数且a临界点理论的有关定义和结论. 第三章给出了问题(1.2.1)的变分结构,并且求出了与问题(1.2.1)所对应的线性特征值问题的全部特征值. 第四章利用第二、三章给出的相关理论与引理,通过临界群的计算,对本文所给出的主要结论进行了证明.

关键词：四阶离散共振变分方法临界点临界群

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二阶共振差分方程边值问题解的多重性

二阶共振差分方程边值问题解的多重性

作者：段春娅太原理工大学

学位级别：硕士

本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了二阶共振差分方程边值问题解的多重性,其中N（≥3）是一个固定的整数,离散区间Z[1,N]={1,2,…,N),常数α＜1,β≤1,△是向前差分算子,即Δu（k... 详细信息

本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了二阶共振差分方程边值问题解的多重性,其中N（≥3）是一个固定的整数,离散区间Z[1,N]={1,2,…,N),常数α＜1,β≤1,△是向前差分算子,即Δu（k）=u（k+1）-u（k）,Δ2u（k）=Δ（Δu（k））,f（k,.）∈C1（R1,R1）满足共振条件,并且f（k,0）=0. 全文共分三章. 第一章介绍了差分方程边值问题的研究背景及其解的存在性的研究方法、本文研究工作的意义以及所得到的主要结果.共得到四个多重性定理. 第二章介绍了本文所要用到的有关临界点理论的基本结论,导出了问题（1.2.1）所对应的能量泛函. 第三章利用第二章介绍的有关结论,结合正、负能量泛函,通过临界群的计算,给出了本文主要结果的证明.

关键词：共振差分方程多重性变分方法临界群 Morse理论

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离散多共振边值问题解的多重性

离散多共振边值问题解的多重性

作者：赵杰太原理工大学

学位级别：硕士

本文利用变分方法,结合临界点理论,特别是Morse理论,通过临界群的计算,研究了二阶离散多共振边值问题解的多重性.其中N(≥3)是一个固定的整数,[1,N]={1,2,…,N},4是向前差分算子,即且f(k,0)=0.同时非线性项f满足在无穷远点的多共振条件... 详细信息

本文利用变分方法,结合临界点理论,特别是Morse理论,通过临界群的计算,研究了二阶离散多共振边值问题解的多重性.其中N(≥3)是一个固定的整数,[1,N]={1,2,…,N},4是向前差分算子,即且f(k,0)=0.同时非线性项f满足在无穷远点的多共振条件,即其中yk是问题(1.1.1)所对应的线性特征值问题的第k个特征值.全文分为三部分.第一章介绍了差分方程边值问题的研究背景和方法,简述了本文研究工作的意义及所得到的主要结论.全文共得到两个多解性定理.第二章介绍了本文所要用到的临界点理论的有关知识及问题(1.1.1)的能量泛函.第三章利用Morse理论以及临界群的计算,对本文所得到的主要结论进行了证明.

关键词：多共振差分方程 Morse理论临界群边值问题

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非线性离散特征值问题的多解性

非线性离散特征值问题的多解性

作者：乔静太原理工大学

学位级别：硕士

本文利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，特别是临界群与Morse理论，研究了非线性离散特征值问题解的存在性与多重性。其中A为n阶正定矩阵，参数λ>0，F∈C(R，R)，▽F表示F的梯度，即▽F(u)=(?)。全文共分四章。第一... 详细信息

本文利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，特别是临界群与Morse理论，研究了非线性离散特征值问题解的存在性与多重性。其中A为n阶正定矩阵，参数λ>0，F∈C(R，R)，▽F表示F的梯度，即▽F(u)=(?)。全文共分四章。第一章主要介绍了模型(1．1．1)的研究背景、研究方法及应用方向等。第二章导出了问题(1．1．1)所对应的能量泛函J，从而问题(1．1．1)的解等价于泛函J的临界点。并且介绍了本文所要用到的有关临界点的基本理论。第三章首先利用强单调映像原理、山路引理及环绕定理等研究了问题(1．1．1)解的存在性与唯一性，得到如下结论：定理3．1．1假设存在常数a>0，使得(▽F(u)-▽F(v))·(u-v)≤a‖u-v‖对任意的u，v∈R成立，则当λ∈(0，λ/a)时，问题(1．1．1)在R中有唯一解。定理3．1．2假设(?)F(u)/(‖u‖)0，则当λ∈(0，λ/(2a)时，问题(1．1．1)在R中至少有一个解。定理3．1．3假设F(θ)=0，并且存在常数R>0，μ∈[0，1/2)，当‖u‖>R时F(u)≤μu·▽F(u)。同时，存在常数b>0，c>0，使得(?)F(u)/‖u‖>b，(?)F(u)/‖u‖0，μ∈[0，1/2)，当‖u‖>R时，F(u)≤μu·▽F(u)。同时，存在常数b>0，c>0，使得当u∈R时，F(u)≥b‖u‖，(?)F(u)/‖u‖A，(?)F(u)/‖u‖0。定理3．2．2假设F(u，u，…，u)在R上具有二阶连续偏导数，记矩阵(?)。如果下列条件满足： (1) F(θ)=0，▽F(θ)=θ;(2) (?)F(u)/‖u‖0;(3)存在正整数k∈{1，2，…，n}，使得(?)F(u)/‖u‖>λ/(2λ)。则对任意的λ∈(0，λ/(2a))，并且1/λ不是矩阵AF＂(θ)的特征值时，问题(1．1．1)在R中至少有两个非零解。定理3．2．3假设下列条件满足： (1) F(u，u，…，u)在Rn上具有二阶连续的偏导数;则对任意的λ>0，问题(1．1．1)在R中至少有三个不同的解。定理3．2．4假设下列条件满足： (1) F(u，u，…，u)在R上具有二阶连续的偏导数;则对任意的λ>0，问题(1．1．1)在R中至少有三个不同的解。定理3．2．5假设下列条件满足： (1) F(θ)=0;(2) F(u)=F(-u)，u∈R;(3) (?)F(u)/‖u‖0;(4) (?)F(u)/‖u‖>A>0： (5)存在K∈{1，2，…，n}使得a/A<λ/(λ)。则当λ∈(λ/(2A)，λ/(2a))时，问题(1．1．1)在R中至少有2k个解。第四章简述了本文所得结论在差分系统中的具体应用，并且举例说明了假设条件的合理性与可实现性。全文所得结论都是新的，并且包含、推广了一些已有的结果。

关键词：特征值问题多解性能量泛函变分方法临界点临界群 Morse理论