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几类耗散型发展方程解的渐近性态

几类耗散型发展方程解的渐近性态

作者：马群西北师范大学

学位级别：硕士

本文运用无穷维动力系统理论研究了几类耗散型发展方程,具体包括带有非线性项的非自治2D Navier-Stokes方程,吊桥方程和带有衰退记忆的双曲方程.在已有的新的研究基础上,利用能量估计技巧和半群理论对解的渐近性态进行了讨论,并获得了... 详细信息

本文运用无穷维动力系统理论研究了几类耗散型发展方程,具体包括带有非线性项的非自治2D Navier-Stokes方程,吊桥方程和带有衰退记忆的双曲方程.在已有的新的研究基础上,利用能量估计技巧和半群理论对解的渐近性态进行了讨论,并获得了相关系统中吸引子的存在性和上半连续性.在第一节中,关于非自治的2D Navier-Stokes方程,它包含了非线性项c｜u｜βu,其中c>0,1/3≤β≤2.非线性项给一致吸收集和解过程的紧性的验证带来了本质性的困难,并且外力项仅满足正规条件而非平移紧时,那么在估计过程中我们运用了半群理论,紧嵌入定理和能量估计技巧,攻克了本质性的困难,从而在空间cl(H1/0(Ω))2{u∈C0∞(Ω)2,div u=0}中证明了一致吸引子的存在性.在第二节中,关于吊桥方程,通过验证解半群的强拉平性,从而在空间H(Ω)∩ H(Ω)×L(Ω)中获得了指数吸引子的存在性.在第三节中,关于带有记忆核的双曲方程,通过验证解半群关于阻尼项参数α的连续依赖性,从而在空间D(A)×V×L(R+;D(A))中证明了强全局吸引子的上半连续性.

关键词：一致条件(C) 一致吸引子强拉平性指数吸引子记忆核上半连续性

具有记忆性的Petrovsky方程的能量衰减速率

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具有记忆性的Petrovsky方程的能量衰减速率

作者：曲玉清曲阜师范大学

学位级别：硕士

粘弹性理论包含了对材料的描述.这些材料表现出弹性（施加应力后能够恢复原始形状）和粘性（去除应力后保持形变）特性的组合.这类材料综合了粘性液体材料及弹性固体材料的优点,同时具有储存能量和耗散能量的能力.经典线性化模型产生了... 详细信息

粘弹性理论包含了对材料的描述.这些材料表现出弹性（施加应力后能够恢复原始形状）和粘性（去除应力后保持形变）特性的组合.这类材料综合了粘性液体材料及弹性固体材料的优点,同时具有储存能量和耗散能量的能力.经典线性化模型产生了一个积分—微分方程,该方程用适当的记忆项增加了相关弹性应力张量.粘弹性波动方程可以用来描述现实世界中的许多物理现象,比如电磁学中波的传播,声学中的声音传播,流体力学中的流动,热力学中的热传导,发电机中的励磁机理等等.这些模型可以用于描述物理系统的响应,从而更好地了解物理系统中发生的现象.对此类方程的能量衰减的研究可以帮助确定解的渐近性质,有助于我们选择合适的材料和器件满足预先的要求.本文通过两种方法研究了具有记忆性的Petrovsky方程的初边值问题.本文共分为以下三个章节:第一章引言,主要介绍本文要研究的带有记忆项的Petrovsky方程的背景及研究现状.第二章本文考虑具有记忆项的Petrovsky方程初边值问题解的能量衰减问题utt+Δ2u-∫0~tg（t-s）Δ2u（s）ds=0,具有初始条件和边界条件,其中g（t）为记忆核函数.本章节,我们将研究如下具有记忆项的Petrovsky方程初边值问题的能量衰减率（?）其中Ω（?）R~n是具有光滑边界?Ω的有界区域,向量ν是?Ω上的单位外法向量,g是记忆核,满足对（?）t≥0 g'（t）+ξ（t）H(g（t）)≤0,其中H∈C1（R+）为严格递增的凸函数且h（0）=0,ξ（·）为非增可微的正函数.本章在记忆核的适当假设下利用乘子技术、能量不等式,借助研究等价泛函的性质进而得到了上述初值问题解的能量衰减估计.本文研究的问题与[15]中研究的问题相同,本章的创新之处在于:（1）该问题对于[15]中的记忆核条件进行了放宽.（2）[16]中的记忆核假设g'（t）≤-kg1+1/p,p∈（2,∞）,k>0和[19]中的记忆核假设g'（t）+H(g（t）)≤0,H（·）∈C1（R1）是正的,递增的凸函数且H（0）=0是本文所述记忆核假设的特殊情况.（3）在[20]的方法论基础上,研究了 Petrovsky方程的能量衰减问题.第三章在本章中我们通过运用迭代法研究Petrovsky方程初边值问题解的能量衰减.对于Petrovsky方程的初边值问题,在本章中做出以下假设,存在一个凸函数H∈C1（R+）,严格单调递增,有H（0）=0,满足g'（t）+ξ（t）H(g（t）)≤0,（?）t≥0,其中ξ（·）是满足λ:=（?）ξ（t）>0的非增正函数.我们可以通过迭代法证明能量的一般衰减.本章工作是对先前工作的推广,对于具有记忆性的Petrovsky方程的初边值问题,本章给定了更一般的记忆核函数,推导出能量与记忆核函数具有相同的衰减方式.本章的创新之处在于:（1）在[15]的基础上,放宽记忆核函数g的限制条件.（2）在第二章的基础上拓展思路,借鉴[19]中的方法,研究了Petrovsky方程的初边值问题的能量衰减问题.

关键词： Petrovsky方程能量衰减估计记忆核迭代技巧

非齐次Moore--Gibson--Thompson方程初边值问题的动力学性质

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非齐次Moore--Gibson--Thompson方程初边值问题的动力学性质

作者：刘洁曲阜师范大学

学位级别：硕士

Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程理论起源于对高振幅声波的建模，由于高强度超声在碎石术、热疗、超声清洗等方面的应用，这些技术广泛应用于医疗和工业，因此在这一研究领域已有相当多的工作.　　本文考虑下面带有源项的粘弹性MGT方程... 详细信息

Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程理论起源于对高振幅声波的建模，由于高强度超声在碎石术、热疗、超声清洗等方面的应用，这些技术广泛应用于医疗和工业，因此在这一研究领域已有相当多的工作.　　本文考虑下面带有源项的粘弹性MGT方程的Dirichlet初边值问题的能量衰减问题:{(τ)uttt+αutt-c2△u-b△ut+∫t0g(t-s)△u(s)ds=f(u),(x,t)∈Ω×(0,∞),u=0,(x,t)∈?Ω×(0,∞),u|t=0=u0，ut|t=0=u1,utt|t=0=u2,(x,t)∈Ω,其中g是一个非负记忆核，f(u)是非齐次项，我们在更一般的松弛核函数假设下证明了能量的一般衰减,研究方程中的源函数对初始数据有很大的局限性，对估计也有本质的困难.　　本文工作是对先前工作的推广.对于带记忆核的非齐次MGT方程，本文给定满足更一般条件的记忆核函数，并且限制非齐次项f(u)满足一定条件，证明方程的衰减方式与记忆核函数衰减方式一致.本文的创新之处在于:(ⅰ)对MGT方程源项f(u)的处理;(ⅱ)与文献[14]相比,记忆核函数满足的条件更为一般;(ⅲ)本文还对与MGT方程密切相关的参数γ进行了改进.　　论文研究的衰减结果可以应用于各种具体问题.本文给出两个例子:带记忆项的齐次Moore-Gibson-Thompson方程以及非齐次Moore-Gibson-Thompson方程能量的一般衰减.

关键词： Moore-Gibson-Thompson方程迭代技巧记忆核一般衰减估计凸函数

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记忆性的非齐次MGT方程的衰减估计

记忆性的非齐次MGT方程的衰减估计

作者：路阳阳曲阜师范大学

学位级别：硕士

考虑记忆性的非齐次Moore-Gibson-Thompson方程,该方程是描述声波在气体和液体中传播的声学方程.Moore-Gibson-Thompson方程源于考虑热通量和分子松弛时间的高频超声波,该研究领域已应用于医学和工业领域,如碎石术中的高强度超声、温热... 详细信息

考虑记忆性的非齐次Moore-Gibson-Thompson方程,该方程是描述声波在气体和液体中传播的声学方程.Moore-Gibson-Thompson方程源于考虑热通量和分子松弛时间的高频超声波,该研究领域已应用于医学和工业领域,如碎石术中的高强度超声、温热疗法和超声清洗.本文主要在Hillbert空间中,在对初值、非齐次项及记忆核函数等的适当假设下,通过Faedo-Galerkin逼近证明MGT方程解的整体存在唯一性和适定性.此外,通过能量方法、乘子技术和关于卷积的迭代估计建立了能量的指数或一般衰减结果.本文共分为以下四个章节:第一章引言,主要介绍本文中的Moore-Gibson-Thompson方程的背景及研究现状.第二章研究了有限记忆性的非齐次Moore-Gibson-Thompson方程的初值问题其中ω(s)=λμ(s)+μut(s),λ,μ为常数.r,α,c2,b为正常数,A为定义在实Hilbert空间H上的正定自伴算子,其中D(A)紧嵌入H.卷积项∫0tg(t-s)Aw(s)ds反映了材料因粘弹性而产生的记忆效应,g(t)为记忆核,满足对任取t≥0,g'(t)+H(g(t))≤0,其中H(·)∈C1(R+)为严格递增的凸函数且H(0)=0.本章在记忆核及非齐次项的适当假设条件下,采用乘子技术,积分不等式,比较原理及迭代估计得到了上述初值问题解的整体存在唯一性及能量衰减速率估计.该问题对以往相关文献中的问题进行了创新与推广:(1)记忆项ω(s)=λu(s)+μut(s)比文献[15]中的记忆项更具有普遍性;(2)对于记忆核g(t)的假设条件比文献[4]中的假设条件更有一般性;(3)所研究的方程相比于文献[4,15,25,39]含有非齐次项-|ut|put.第三章研究了无限记忆性的非齐次Moore-Gibson-Thompson方程的初值问题.假设条件与第二章中的条件相同,函数u0,u1,u2,φ0(s)为给定函数.本章在记忆核及非齐次项的适当假设条件下,采用乘子技术,积分不等式得到上述初值问题解的能量衰减速率估计.第四章总结本文的研究并提出进一步研究的问题.

关键词： Moore-Gibson-Thompson方程能量衰减记忆核非齐次项

一类Volterra积分—微分方程的解析解研究

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一类Volterra积分—微分方程的解析解研究

作者：赵云西安理工大学

学位级别：硕士

Volterra积分-微分方程频繁出现在生物学、物理学、工程等实际问题的数学建模中。由于该类数学模型带有未知核函数的积分项,可更好的反映系统的非局部及记忆反馈性质,相比传统的偏微分方程似乎更接近模拟实际问题。因此对Volterra型积分... 详细信息

Volterra积分-微分方程频繁出现在生物学、物理学、工程等实际问题的数学建模中。由于该类数学模型带有未知核函数的积分项,可更好的反映系统的非局部及记忆反馈性质,相比传统的偏微分方程似乎更接近模拟实际问题。因此对Volterra型积分-微分方程的理论与解法研究为当今的一个热点课题。本文对一类带有广义Mittag-Leffler函数型、幂律函数型及指数因子型记忆核的Volterra型积分-微分方程的解析解展开研究:(1)在无界区域上分别讨论了带有三种记忆核的高维非齐次抛物型Volterra积分-微分(Parabolic Volterra Integro-Differential,PVI-D)方程的解析解。基于积分变换及特殊函数得到了包含广义Mittag-Leffler函数、Fox-H函数、积分算子以及积分形式的无穷级数解表达式。其次得到了带有幂律型记忆核的一维齐次PVI-D方程在初值为狄克拉-?函数下的解析解。最后对带有幂律型记忆核的齐次PVI-D方程的解析解进行数值模拟,模拟结果表明解析解在x(28)0处达到峰值,其图像呈Gaussian对称形态且具有Gaussian缓慢衰减分布特征。(2)在半无界区域上考虑了带有三种记忆核的一维非齐次PVI-D方程的解析解。基于Fourier-Sine变换、Laplace变换、Fourier-Cosine变换及Mittag-Leffler函数和Fox-H函数的性质得到了由广义Mittag-Leffler函数、Fox-H函数组成的无穷级数解与无限域边界条件下的解析形式相似。(3)研究了带有三种记忆核的一维、二维、三维非齐次PVI-D方程分别在有界限区间、圆域、球域上的解析解。基于分离变量、积分变换及特殊函数得到了由带有三角函数、积分算子、广义Mittag-Leffler函数、Bessel函数及Legendre函数的多重无穷级数解析表达式。最后对带有幂律型记忆核的二维齐次PVI-D方程在圆域上的解析解进行数值模拟,模拟结果表明解析图像呈帽状且具有缓慢耗散的特征,同时给出曲面等高线变化图可清楚看到能量耗散过程,等高线浓密与稀疏的分布决定能量耗散程度。(4)在无界、有界区域上分别考虑了一类带有三种时间记忆核的非齐次Fokker-Planck方程的解析解,基于分离变量法和积分变换得到了相应的解析表达式。

关键词： Volterra积分-微分方程积分变换分离变量解析解记忆核

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带记忆项的非线性方程解的能量衰减估计

带记忆项的非线性方程解的能量衰减估计

作者：涂馨予四川师范大学

学位级别：硕士

本文分别研究了一阶Cahn-Hilliard方程在非线性动态边界条件和一类二阶粘性方程在绞合边界条件下解的能量衰减估计,通过构造合适的能量函数,借助微分不等式研究了这两类方程在记忆核满足一定衰减条件时解的能量衰减方式.

关键词：记忆核动态边界条件绞合边界条件能量估计指数衰减多项式衰减

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两类记忆型发展方程的渐近性态研究

两类记忆型发展方程的渐近性态研究

作者：张玉宝西北师范大学

学位级别：硕士

本文运用无穷维动力系统理论研究了两类记忆型方程在Dirichlet边界条件下解的长时间动力学行为,具体分别为具有衰退记忆的弱耗散抽象发展方程和带记忆的非经典扩散方程.利用一些新的研究结果和估计技术讨论了解的渐近性态,并证明了相关... 详细信息

本文运用无穷维动力系统理论研究了两类记忆型方程在Dirichlet边界条件下解的长时间动力学行为,具体分别为具有衰退记忆的弱耗散抽象发展方程和带记忆的非经典扩散方程.利用一些新的研究结果和估计技术讨论了解的渐近性态,并证明了相关系统中全局吸引子在弱拓扑空间和强拓扑空间中的存在性.i).考虑如下不包含阻尼项αut的记忆型弱耗散抽象发展方程:通常的记忆型抽象发展方程的能量耗散是通过阻尼项和衰退记忆项来实现.当不包含阻尼项时,系统的能量耗散仅通过记忆项来实现,因此能量耗散减弱.此外,由于记忆项在对应的空间缺乏紧性,故很难得到解半群的紧性.通过运用半群理论和收缩函数理论,克服了紧性验证的困难,同时证明了弱拓扑空间V1 × H × Lμ2(R+;V1)和强拓扑空间V2 × V1 × Lμ2(R+;V2)中全局吸引子的存在性.ii).考虑如下带记忆的非经典扩散方程:当非线性项满足任意多项式增长时,运用渐近收缩函数理论得到了弱拓扑空间H01(Ω)×Lμ2(R+;H01(Ω))和强拓扑空间H2(Ω)× Lμ2(R+;H2(Ω))中全局吸引子的存在性.

关键词：记忆核收缩函数全局吸引子抽象发展方程非经典扩散方程任意多项式增长