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线性哈密顿系统的点谱和自伴边界条件

线性哈密顿系统的点谱和自伴边界条件

作者：胡玉峰曲阜师范大学

学位级别：硕士

哈密顿系统的研究源于数理科学,生命科学以及其它的许多科学领域,特别是天体力学,量子力学,航天科学以及生物工程发展的需要,是微分算子研究的核心内容.虽然几乎所有的现实问题所产生的哈密顿系统都是非线性的,但是为了比较准确地描述... 详细信息

哈密顿系统的研究源于数理科学,生命科学以及其它的许多科学领域,特别是天体力学,量子力学,航天科学以及生物工程发展的需要,是微分算子研究的核心内容.虽然几乎所有的现实问题所产生的哈密顿系统都是非线性的,但是为了比较准确地描述实际问题在某种条件下的一些性质,就需要对非线性哈密顿系统进行线性化.本文所研究的就是线性哈密顿系统. 本文在孙炯,王爱萍等人关于微分算子的点谱(见[25])和杨传富,杨孝平,黄振友关于微分算子乘积的自伴边界条件(见[46])的基础上,利用类似的方法讨论了线性哈密顿系统,并得到相应结论.文章主要研究具有任意亏指数的自伴线性哈密顿算子点谱与对应的线性哈密顿系统的平方可积解之间的关系,以及由2n阶哈密顿算子L(y)生成的微分算子Tk(L)(k=1,2,…,m;m∈N,m≥2)的乘积的自伴性问题,获得了乘积微分算子Tm(L)…T2(L)T1(L)是自伴算子的充要条件. 根据内容本文分为以下三章：第一章绪论,主要介绍了本文的研究课题. 第二章在本章中,主要讨论了线性哈密顿系统Jy’(t)-H(t)y(t)=AW(t)y(t),t∈I=[α,b), (1.3.1λ)其中α是正则端点,b是奇异端点(即b=+∞;或者W(t),H(t)至少有一个函数在b点附近不可积).W(t),H(t)是在I上局部可积的2n×2n阶实对称矩阵,J是辛矩阵,即In是n×n单位阵,W(t)≥0是半正定的权函数.若对于I中的某个实开区间中的任意点λ,系统总有d个线性无关解,则它的任何自伴算子的点谱在这个开区间上是不稠密的. 第三章在基本条件W(2n(m-1))(t),H(2n(m-1))(t)是,上局部可积的,且W(t)≥0. (2.2)成立的条件下,如果由y∈L2W[α,b),Lm(y)∈L2W[α,b)及y(2n(m-1))∈ACloc([α,b))可得Lk(y)∈L2W[α,b)(k=1,2,…,m-1),则称Lm(y)在L2W[α,b)中满足部分分离性条件.在2n阶哈密顿算子L(y)的幂算子Lm(y)在L2W,[α,b)中是满足部分分离性条件时,首先刻画了由幂算子Lm(y)生成的微分算子T(Lm)的自伴边界条件,然后在L2W[α, b)中,借助T(Lm)的自伴域的刻画形式,研究了m个由2n阶哈密顿算子L(y)生成的微分算子Tk(L)(k=1,2,…,m;m∈N,m≥2)乘积的自伴性问题,获得了乘积微分算子Tm(L)…T2(L)T1(L)是自伴算子的充要条件.

关键词：线性哈密顿系统点谱中间亏指数自伴算子哈密顿算子乘积部分分离性自伴边界条件

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多区间线性哈密顿系统的GKN理论

多区间线性哈密顿系统的GKN理论

作者：姜英曲阜师范大学

学位级别：硕士

微分算子的谱理论在研究数学,物理,包括天体力学,量子力学,航天科学以及生物工程,流体的稳定性等许多科学领域起着重要的作用.许多数学模型都是应用的哈密顿算子的形式,因此线性哈密顿算子的谱理论的研究具有实际和理论的意义. 十九... 详细信息

微分算子的谱理论在研究数学,物理,包括天体力学,量子力学,航天科学以及生物工程,流体的稳定性等许多科学领域起着重要的作用.许多数学模型都是应用的哈密顿算子的形式,因此线性哈密顿算子的谱理论的研究具有实际和理论的意义. 十九世纪五十年代,苏联数学家Glazman,Krein,Naimark建立了著名的GKN理论,从而给出了Hilbert空间中由微分算式生成的最小算子的任意自伴扩张和一个有限维子空间上酉等距算子之间的一一对应,建立了微分算子自伴扩张的基本理论框架,并且把GKN定理推广到了任意阶的微分算子中. 文[19]对连续线性哈密顿系统的谱理论进行了系统的研究,建立了线性哈密顿系统中的GKN理论.本文主要研究多区间线性哈密顿系统的GKN理论. 根据内容本文分为以下两章：第一章绪论,主要介绍了本文的研究课题. 第二章本章主要讨论了下面的多区间线性哈密顿系统相应的形式哈密顿算子为令由形式哈密顿算子在合适的Hilbert空间上定义最大（小）算子,并定义相应的辛空间,建立GKN集给出多区间线性哈密顿系统中最小算子的自伴扩张与辛子空间的一一对应关系,从而给出多个区间线性哈密顿系统的GKN理论.

关键词：线性哈密顿系统多区间自伴扩张 GKN理论辛空间

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具有中间亏指数的线性哈密顿算子的点谱

应用数学学报 2013年第3期36卷 431-438页

作者：郑召文胡玉峰曲阜师范大学数学科学学院曲阜273165

本文讨论具有任意亏指数d的自伴线性哈密顿算子点谱与对应的线性哈密顿系统的平方可积解之间的关系.若对于某个实开区间中的任意点λ,系统总有d个线性无关解,则它的任何自伴算子的点谱在这个开区间上是不稠密的.

关键词：线性哈密顿系统点谱中间亏指数自伴算子

含实参数的奇异哈密顿系统的平方可积解与哈密顿算子的谱

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含实参数的奇异哈密顿系统的平方可积解与哈密顿算子的谱

作者：孔祥聪曲阜师范大学

学位级别：硕士

本文主要研究在区间(a,b)上含有实参数λ的线性奇异哈密顿系统,以及与之相对应的线性哈密顿算子的谱问题. 当线性哈密顿系统只有一个奇异端点时,假设对应线性哈密顿算子具有任意亏指数d+=dd,且对于固定的λ∈Ⅰ(Ⅰ为R上的任意开区间),... 详细信息

本文主要研究在区间(a,b)上含有实参数λ的线性奇异哈密顿系统,以及与之相对应的线性哈密顿算子的谱问题. 当线性哈密顿系统只有一个奇异端点时,假设对应线性哈密顿算子具有任意亏指数d+=dd,且对于固定的λ∈Ⅰ(Ⅰ为R上的任意开区间),含参数λ的哈密顿系统的线性无关平方可积解的个数为r(λ 得到以下结果： (1)当r(λ)哈密顿算子的任意自伴延拓s的本质谱;(2)当r(λ)=d时,λ不属于哈密顿算子的任意自伴延拓s的连续谱,并且在附加条件下证明了λ也不属于s的本质谱. 当线性哈密顿系统的两个端点都为奇异端点时,利用区间分割的方法,也得到了类似只有一个奇异端点情形时的结论.

关键词：线性哈密顿系统奇异端点亏指数平方可积解本质谱连续谱

奇异微分算子及算子积的Friedrichs扩张

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奇异微分算子及算子积的Friedrichs扩张

作者：张艳曲阜师范大学

学位级别：硕士

哈密顿系统的研究起源于数理科学,生命科学以及其它的许多科学领域,特别是在天体力学,量子力学,航天科学以及生物工程发展中,是微分算子研究的核心内容之一.虽然几乎所有的现实问题所产生的啥密顿系统都是非线性的,但是为了比较准确地... 详细信息

哈密顿系统的研究起源于数理科学,生命科学以及其它的许多科学领域,特别是在天体力学,量子力学,航天科学以及生物工程发展中,是微分算子研究的核心内容之一.虽然几乎所有的现实问题所产生的啥密顿系统都是非线性的,但是为了比较准确地描述实际问题在某种条件下的一些性质,就需要对非线性哈密顿系统进行线性化.本文研究的为线性哈密顿系统. 本文主要研究奇异微分算子的Friedrichs扩张,以及两个和四个哈密顿算子乘积的Friedrichs扩张,分别获得了它们为自伴算子的定义域的形式. 根据内容本文分为以下四章：第一章绪论第二章在本章中,主要讨论了由形式自伴微分表达式所张成算子L的Friedrichs延拓其中pij为局部可积的实值函数.若L为下有界且具有相等的亏指数时,用既是主解又是平方可积解的解来刻画其Friedrichs延拓. 第三章在本章中,主要讨论了两个线性哈密顿算子积的Friedrichs扩张,其中a是正则端点,b是奇异端点(即b=+∞;或者H(t)在b点附近不可积).H(t)是在I上局部可积的2n×2n阶实对称矩阵,J为辛矩阵,即第四章在基本条件成立的条件下,如果由可得则称Lm(y)在LW2[a,b)中满足部分分离性条件.当2n阶哈密顿算子L(y)的乘积算子在LW2[a,b)中是满足部分分离性条件时,我们得到了四个哈密顿算子积的Friedrichs延拓.

关键词：线性哈密顿系统主解平方可积解亏指数 Friedrichs延拓哈密顿算子乘积

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微分算子的自伴扩张及对称扩张问题

微分算子的自伴扩张及对称扩张问题

作者：张新然曲阜师范大学

学位级别：硕士

哈密顿系统由于其在日常生活中的广泛应用,而成为微分算子研究的重要内容,而哈密顿系统的自伴扩张问题又成为研究哈密顿系统的重要内容Friedrichs扩张是由Friedrichs命名的一类特殊的自伴扩张,即对于一个稠定对称且半有界算子,都存在其... 详细信息

哈密顿系统由于其在日常生活中的广泛应用,而成为微分算子研究的重要内容,而哈密顿系统的自伴扩张问题又成为研究哈密顿系统的重要内容Friedrichs扩张是由Friedrichs命名的一类特殊的自伴扩张,即对于一个稠定对称且半有界算子,都存在其保持相同下界的自伴扩张算子.本文从辛空间的角度得到哈密顿算子自伴扩张的等价条件.伴随着复系数微分算子的出现,J—对称算子已成为大家关注的热点.本文第三章和第四章主要研究了J—对称算子及J—对称哈密顿算子,并给出了相关的结论. 根据内容本文分为以下四章：第一章绪论,介绍文章的主要内容. 第二章在本章中,主要考虑下面的线性哈密顿系统Jy’(t)=(λW(t)+P(t))y(t),(2.2.1) ι∈I,I=[υ1,b1]∪[a2,b2].其中W(t)及P(t)在有限区间Ⅰ内是可积的,且W=W*(?)0,P=P*,λ是一个复数,J是2n×2n阶常数矩阵且满足J*=J-1=-J即其中In为n阶单位矩阵.哈密顿算子(2.2.2)定义在区间Ⅰ上,且T0有下界.设TF为由哈密顿算子生成的一个扩张算子,其定义域为D(TF),令LF=D(TF)／D(T0)则TF是T0的Friedrichs扩张(?)LF=span｛en-1,en-2…,e2n,e3n+1,e3n+2,…,e4n,fn+1,fn+2,…,f2n,f3n+1,f3n+2,…,f4n｝. 第三章本章通过最大算子与最小算子构造了J-辛空间,用J-辛空间中的完全J-Langrange子流形与算子的J-对称扩张的一一对等关系,从J-辛几何的角度研究了正则型微分算子的J-对称扩张的代数结构,即L是L的k(0≤k≤2n)维J-Lagrange子流形(?)(?)αsj,Bsj,∈C,s=1,2,...,κ,s.t. L=span｛α11e1+...血+α1,2ne2n+b11f1+...+b1,2nf2n,...,ακ1e1+...+ακ,2ne2nκ1f1+...+bκ,2nf2n｝,且满足(1)rand(A|B)=2n,(2)αiQαjT=0.A=(αsj)κ×n,B=(bsj)κ×n. 第四章本章给出J-哈密顿算子的一些扩张结论.

关键词：线性哈密顿系统 Friedrichs扩张直和空间辛几何 Lagrange子流形 J-辛几何 J-Lagrange子流形