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面向飞腾处理器的多线程可复现DGEMV设计与实现

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计算机科学 2022年第10期49卷 27-35页

作者：陈磊唐滔漆海俊姜浩何康国防科技大学计算机学院长沙410073

在高性能计算中,求解大规模、大尺度、长时程和病态问题过程中舍入误差的累计都可能会使算法的最终数值结果失真。在不同的计算软硬件资源下,每次运行的结果可能不一致,而这些结果是开发者调试程序和正确性检查的重要依据,会对科研工作... 详细信息

在高性能计算中,求解大规模、大尺度、长时程和病态问题过程中舍入误差的累计都可能会使算法的最终数值结果失真。在不同的计算软硬件资源下,每次运行的结果可能不一致,而这些结果是开发者调试程序和正确性检查的重要依据,会对科研工作的顺利进行造成干扰,因此算法数值结果的可复现性变得至关重要。文中面向飞腾处理器,基于OpenBLAS软件框架,结合美国伯克利国家实验室的Demmel教授团队开发的ReproBLAS软件中提出的可复现的方法与Castado提出的多层分块技术,使用舍入误差分析和无误差变换等技术,设计出了多线程可复现DGEMV的算法。数值实验显示,所提算法实现了数值计算的可复现性,且输出结果与ReproBLAS相同,验证了所提算法的可靠性。同时,所提算法在相同的测试环境下运行速度至少是ReproBLAS实现算法运行速度的2倍。此外,还将所提算法与日本理化研究所Mukunoki提出的OzBLAS中的可复现DGEMV函数进行对比,同为单线程时该算法的运行速度至少是OzBLAS算法的20倍,在相同多线程数量情况下,该算法的运行速度至少是OzBLAS算法的9倍。理论分析和数值实验均表明,该改进算法比国际上现有的可复现数值算法性能更优。

关键词：可复现性舍入误差无误差变换 DGEMV

基于双倍双精度施密特正交化方法的QR分解算法

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计算机科学 2023年第6期50卷 45-51页

作者：金洁茜谢和虎杜配冰全哲姜浩湖南大学信息科学与工程学院长沙410082 中国科学院数学与系统科学研究院北京100190 西北核技术研究所西安710024 国防科技大学计算机学院长沙410073

当矩阵的规模较大或者条件数较高时,格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)正交化算法和其相关修正算法时常表现出数值不稳定性的现象。为了解决该问题,探索了修正Gram-Schmidt算法(MGS)中舍入误差的累积效应,然后基于无误差变换技术和双倍双精... 详细信息

当矩阵的规模较大或者条件数较高时,格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)正交化算法和其相关修正算法时常表现出数值不稳定性的现象。为了解决该问题,探索了修正Gram-Schmidt算法(MGS)中舍入误差的累积效应,然后基于无误差变换技术和双倍双精度算法,设计并实现了双倍双精度修正Gram-Schmidt正交化算法(DDMGS)。该算法的精度测试中显示所提算法较分块施密特正交化(BMGS_SVL,BMGS_CWY,BCGS_PIP与BCGS_PIO)的变体算法具有更好的数值稳定性,证明了DDMGS算法能够有效地减少矩阵的正交性损失,提升数值精度,展示了所提算法的可靠性。在算法的性能测试中,首先计算并比较了不同算法的浮点计算量(flops),随后将所提DDMGS算法与修正施密特正交化算法在ARM和Intel两款处理器上作比较,虽然DDMGS算法的运行时间分别是MGS的5.03倍和18.06倍左右,但获得了明显的精度提升效果。

关键词：施密特正交化算法 QR分解无误差变换双倍双精度算法舍入误差浮点算术

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基于MPI的高精度归约函数设计与实现

计算机工程与科学 2021年第4期43卷 594-602页

作者：何康黄春姜浩谷同祥齐进刘杰国防科技大学计算机学院湖南长沙410073 北京应用物理与计算数学研究所北京100000 国防科技大学并行与分布处理重点实验室湖南长沙410073 国防科技大学复杂系统软件工程湖南省重点实验室湖南长沙410073

随着科学工程计算大规模、高维数和长时程的特性越来越显著,浮点舍入误差的累积效应往往使得计算结果不可信,提高计算精度成为了并行计算领域研究的热点之一。基于MPICH3框架,采用无误差变换技术构建新的数据格式和相应运算操作符,设计... 详细信息

随着科学工程计算大规模、高维数和长时程的特性越来越显著,浮点舍入误差的累积效应往往使得计算结果不可信,提高计算精度成为了并行计算领域研究的热点之一。基于MPICH3框架,采用无误差变换技术构建新的数据格式和相应运算操作符,设计了高精度归约函数MPI_ACCU_REDUCE,实现了高精度的求和、求积和求L2范数3种MPI归约运算。数值实验结果表明,提出的3种高精度归约运算有效提高了数值计算的精度。

关键词： MPI 高精度计算归约操作无误差变换

面向飞腾处理器的高精度求和与点乘算法实现和优化

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计算机工程与科学 2021年第1期43卷 1-8页

作者：黄春姜浩谷同祥齐进刘文超国防科技大学计算机学院湖南长沙410073 北京应用物理与计算数学研究所北京100088

在大规模和长时程数值计算中,浮点运算的舍入误差的累积效应可能导致数值结果不可信。求和与点乘是浮点数值计算中最为基础的运算,在大规模科学计算过程中被频繁调用,其数值结果精度至关重要。面向国产飞腾处理器,基于OpenBLAS,采用无... 详细信息

在大规模和长时程数值计算中,浮点运算的舍入误差的累积效应可能导致数值结果不可信。求和与点乘是浮点数值计算中最为基础的运算,在大规模科学计算过程中被频繁调用,其数值结果精度至关重要。面向国产飞腾处理器,基于OpenBLAS,采用无误差变换技术设计了高效的汇编内核函数,实现并优化了高精度的求和与点乘算法。数值实验显示,该高精度算法的数值结果精度同原始算法在双倍工作精度下得到的数值结果精度相同,验证了本文算法的有效性;本文算法在单线程情况下运行时间分别是原始算法运行时间的1.57倍和1.76倍,在保证精度提升的同时效率没有明显的降低;在多线程情况下,同原始算法具有近乎相同的运行时间,体现了算法的高效性。理论误差分析进一步表明了本文算法的可靠性。

关键词：无误差变换浮点数高精度求和点乘

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基于SCILAB的多精度算法研究与实现

计算机工程与科学 2020年第11期42卷 1949-1955页

作者：兰静刘文超姜浩林文强重庆工商大学融智学院重庆404100 国防科技大学计算机学院湖南长沙410073

当前,通用处理器一般支持64位浮点运算,在大规模和长时程数值计算中,由于浮点运算的舍入误差累积效应,可能导致数值结果不可信。因此,有效控制误差,设计高精度、高效可靠的浮点数值算法至关重要。基于SCILAB软件平台,通过使用无误差变换... 详细信息

当前,通用处理器一般支持64位浮点运算,在大规模和长时程数值计算中,由于浮点运算的舍入误差累积效应,可能导致数值结果不可信。因此,有效控制误差,设计高精度、高效可靠的浮点数值算法至关重要。基于SCILAB软件平台,通过使用无误差变换和double-double数据格式,实现了高精度的算法库。对幂指数、Bernstein和Chebyshev基多项式函数估值,在Intel平台和国产飞腾处理器平台上进行了数值实验,实验结果证实了该高性能数值算法库的有效性。该多精度算法库具有独立知识产权,可有效应用于国产自主可控处理器平台,为国家重大科研项目提供技术支持。

关键词： SCILAB 无误差变换浮点数双倍双精度重载

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高效高精度浮点求和方法的实现与比较

高效高精度浮点求和方法的实现与比较

作者：赵微东北师范大学

学位级别：硕士

自从有了电子计算机,浮点数求和的方法和精度就是计算机和计算数学界关注的基本问题之一。由于数据在计算机上的存储、运算可能会产生舍入、有效位相消、大数“吃”小数等问题,大规模浮点数求和时可能会有误差累积,甚至出现上(下)溢现象... 详细信息

自从有了电子计算机,浮点数求和的方法和精度就是计算机和计算数学界关注的基本问题之一。由于数据在计算机上的存储、运算可能会产生舍入、有效位相消、大数“吃”小数等问题,大规模浮点数求和时可能会有误差累积,甚至出现上(下)溢现象,使得求和结果完全失真。因此,高效可靠的浮点求和算法是计算数学和计算机科学的关键任务,本文也关注高效高精度浮点求和问题。在介绍了一些一般求和方法之后,本文首先综述了文献中已有的一些高精度求和算法,包括补偿、双补偿、SumK、AccSum和FastAccSum算法,给出了各算法的理论误差界,并对各算法的优缺点进行了比较。其次,在相同计算规模下,对各种算法利用MATLAB进行了串行实现,比较它们的运行时间和可达到的精度,发现双补偿算法和FastAccSum算法更高效,精度更高。再次,本文利用MPI+C语言实现了已有的一些并行求和算法,且创新性地对双补偿算法和FastAccSum算法进行了并行实现,将这些算法在国产曙光并行机上进行了并行的数值实验,在处理机个数、问题规模、数据病态程度上比较了各种并行算法,得到了相应的高效高精度并行求和算法的比较结果。最后,从数值实验结果来看,我们发现无论以串行还是并行实现,FastAccSum算法在计算时间和精度上都表现出非常好的性能。因此,我们推荐使用FastAccSum算法进行浮点求和。

关键词：浮点求和无误差变换舍入误差高精度求和算法并行实现

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同方学位论文库

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多项式函数的高精度计算及舍入误差分析研究

多项式函数的高精度计算及舍入误差分析研究

作者：丁吉超国防科学技术大学

学位级别：硕士

在计算机技术高速发展的今天,多项式的函数值及其导数值评估在越来越多的领域发挥着重要作用,几乎所有的函数在计算机运算过程中都是以多项式的形式来参与运算。与此同时,针对大规模科学计算和病态问题中舍入误差的累积可能使算法最终... 详细信息

在计算机技术高速发展的今天,多项式的函数值及其导数值评估在越来越多的领域发挥着重要作用,几乎所有的函数在计算机运算过程中都是以多项式的形式来参与运算。与此同时,针对大规模科学计算和病态问题中舍入误差的累积可能使算法最终结果失真的问题,科研工作者需求高精度的可靠算法。因此,对计算多项式函数值和导数值的高精度算法的需求就显得尤为重要和迫切。本学位论文应用无误差变换技术针对幂指数基多项式一阶导数值和Chebyshev基多项式函数值的计算提出了新的高精度算法,取得了较为满意的结果,主要内容如下: 与计算多项式函数值相比,计算多项式导数值不但要考虑计算过程中产生的舍入误差,还要考虑参数的累计误差。本文通过分析参数自身带入的累积误差与舍入误差之间的关系,提出了补偿Horner导数算法。该算法将传统算法的结果误差转化为三个以舍入误差为系数的多项式的和,并将其补偿给原算法的数值结果。理论分析和数值实验均表明改进算法具有高精度性和可靠性。针对Chebyshev基多项式函数值计算,本文在Clenshaw算法的基础上,提出传统算法的结果误差为一个以舍入误差为系数的Chebyshev基多项式。将这一多项式的函数值补偿给原算法数值结果,即构成本文的补偿Clenshaw算法。理论分析和数值实验均表明改进算法比传统算法优越。

关键词：补偿Horner导数算法补偿Clenshaw算法幂指数基多项式 Chebyshev基多项式无误差变换舍入误差 IEEE-754标准

针对Laguerre序列和Chebyshev张量积曲面高精度算法设计和误差分析

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针对Laguerre序列和Chebyshev张量积曲面高精度算法设计和误差分析

作者：贺克山国防科技大学

学位级别：硕士

在许多大数据量、长时间数值计算中由于计算机无法通过浮点数完整的表示实数而产生截断误差导致误差不断变大,因此得到不精确的结果。本文通过使用无误差变换相关方法和理论,结合浮点计算的特点,提出了一些用于计算多项式的高精度补偿算... 详细信息

在许多大数据量、长时间数值计算中由于计算机无法通过浮点数完整的表示实数而产生截断误差导致误差不断变大,因此得到不精确的结果。本文通过使用无误差变换相关方法和理论,结合浮点计算的特点,提出了一些用于计算多项式的高精度补偿算法,本文主要的工作和创新点有以下两个方面:1.设计了用于计算Laguerre序列的高精度补偿算法（CompCS）.通过结合无误差变换方法,记录浮点计算过程中产生的误差,结合传统Clenshaw算法对计算总误差进行计算,可以使传统Clenshaw算法在处理病态问题更加稳定,从而得到精确的数值计算结果。其次,本文分析了Clenshaw算法与补偿Clenshaw算法的相对误差界,补偿算法与双倍双精度Clenshaw算法具有相同的精度。同时,与双倍双精度相比,补偿算法可以保证计算精度而且具有更高的计算效率。此外,本文分析了Clenshaw算法与补偿Clenshaw算法的的动态误差界,通过逐次对误差界的估计,可以得到比理论误差更加有效的误差估计。数值实验验证了补偿Laguerre序列算法的效率与精确性,同时也说明了动态误差估计更加接近真实误差。***张量积曲面广泛应用于图像分析与数值逼近领域。本文设计了用于计算Chebyshev张量积曲面的高精度补偿算法（CompCTP）.主要基于无误差变换理论,在嵌套格式的Clenshaw算法（CTP）中使用补偿Clenshaw算法,记录每次计算的误差,用于逼近CTP算法产生的误差。其次,本文分析了CTP算法和补偿算法的相对误差界,其中CTP误差界为u×cond（P,x,y）,CompCTP算法的为u+O（u）×cond（P,x,y）,其中u为机器精度,cond（P,x,y）为Cheyshev张量积曲面P（x,y）的条件数。说明补偿算法的计算结果与使用双倍双精度算法计算结果精度相同。此外,本文对CTP和CompCTP的动态误差界进行了分析,并分别给出计算动态误差界的算法,得到更加接近真实误差的估计。同时,数值实验验证了理论误差与动态误差的有效性,并证明了补偿算法对比双倍双精度算法有更高的效率,又不损失精度。

关键词：截断误差补偿算法无误差变换 Clenshaw算法 Chebyshev张量积曲面

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多项式方程求根的高精度算法研究

多项式方程求根的高精度算法研究

作者：杜配冰国防科学技术大学

学位级别：硕士

在计算机浮点运算环境下，求解病态非线性方程的迭代过程中可能会造成舍入误差的累积，最终导致求出的根失真。随着计算机的迅猛发展，高精度的数值计算方法越来越受到科学家们的重视，本文以计算机浮点运算下的无误差变换为基础，将计... 详细信息

在计算机浮点运算环境下，求解病态非线性方程的迭代过程中可能会造成舍入误差的累积，最终导致求出的根失真。随着计算机的迅猛发展，高精度的数值计算方法越来越受到科学家们的重视，本文以计算机浮点运算下的无误差变换为基础，将计算幂指数基多项式函数及其导函数的补偿Horner算法应用到求解多项式方程的迭代方法中，提出了一系列有效的高精度迭代方法。主要内容如下：对于求解多项式方程实数单根的问题，本文介绍了平行弦法、弦截法与Newton迭代法，在计算机浮点运算环境下分别对它们进行了误差分析，结合补偿Horner算法及其补偿Horner导数算法给出了它们对应的高精度算法，并通过数值实验将所设计的高精度算法与原迭代法进行对比，验证了高精度算法的有效性。对于求解多项式方程复数单根的问题，本文在计算机复数浮点运算环境下分别对Muller迭代法与Newton迭代法进行了误差分析，并结合复数的补偿Horner算法给出了它们对应的高精度算法，同时又提出了复数的补偿Horner导数算法，从而给出了改进的高精度Newton迭代算法，并通过数值实验将所设计的高精度算法与原迭代法进行对比，验证了高精度算法的有效性。对于求解多项式方程重根的问题，本文介绍了已知重数与未知重数的改进Newton迭代法和一种四阶迭代方法，并结合补偿Horner算法与补偿Horner导数算法设计了相应的高精度算法，在计算机浮点运算环境下分析了未知重数的改进Newton迭代法的误差，并通过数值实验将所设计的高精度算法与原迭代法进行对比，验证了高精度算法的有效性。本文的最后对全文的工作进行了总结，并对未来的研究工作做了几点展望。

关键词：浮点运算无误差变换多项式方程高精度算法舍入误差