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二维渗流相关长度ξ(p)的幂估计(英文)

引用

应用概率统计 1995年第1期11卷 88-91页

作者：张饴慈首都师范大学北京100037

相关长度ξ(p)是渗流理论中最重要的一个量。

关键词：渗流相关长度幂估计

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二维渗流临界状态连接函数的幂估计

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首都师范大学学报（自然科学版） 1995年第3期16卷 5-9页

作者：张饴慈刘秀芳首都师范大学数学系北京师范大学数学系

本文对二维边渗流模型给出了临界状态时连接函数τＰｃ（ｏ，ｖ）的幂估计，即存在常数α＞０，Ｃ１＞０，Ｃ２＞０使得这里ｏ＝（０，０），ｖ＝（ｖ１，ｖ２）∈Ｚ２，｜ｖ｜＝｜ｖ１｜＋｜ｖ２｜．

关键词：渗流临界状态连接函数幂估计

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GL2上自守L-函数的积分估计

GL2上自守L-函数的积分估计

引用

作者：张芮山东师范大学

学位级别：硕士

关于黎曼-Zeta函数的高阶积分均值问题以及零点密度估计,很多学者做了大量的研究并且取得了很好的结果.本文中,我们将应用他们类似的方法来研究GL2上L-函数的积分以及零点密度估计.令H表示复上半平面,r=SL2（Z）是全模群.f是有拉普拉斯... 详细信息

关于黎曼-Zeta函数的高阶积分均值问题以及零点密度估计,很多学者做了大量的研究并且取得了很好的结果.本文中,我们将应用他们类似的方法来研究GL2上L-函数的积分以及零点密度估计.令H表示复上半平面,r=SL2（Z）是全模群.f是有拉普拉斯特征值1/4+v2的Maass尖形式,它是所有Hecke算子T（n）和反射算子T（-1）:z→-z的一个特征函数.对于n ∈ N,我们有T（n）f=λ（n）f,且λ（n）=1.因此,f的标准L-函数定义为上述级数对于Rs＞1绝对收敛（见[9]）.下面,我们来定义αf（p）和/βf（p）αf（p）βf（p）=1,αf（p）+/βf（p）=Af（p）.由上面的定义,L（s,f）就可以写成下面的形式:广义的Ramanujan猜想预测（[10]）|αf（p）|=|βf（p）|=1.关于这个猜想有下面的估计（[12],[13]）|αp|＜＜p64,|βp|＜＜p64,因此我们可以得到λf（n）＜＜n7/64d（n）,其中d（n）为除数函数.应用Chandrasekharan和Narasimhan[28]的定理,我们可以推导出许多学者研究过λf（n）及λf（n）l的均值估计,如[2,4,5,14,17,18,21,22,23,26,27,28].L-函数在临界线上的幂估计在解析数论中占有重要的地位.Ivic[8]及Liu,Li和Zhang[16],[29]研究了所有数的上界m,即∫1T|L（σ+it,f）mdt＜＜T1+ε,并且得到了关于L（s,f）的在σ不同范围的二次,四次和六次幂的渐近公式.这里我们更感兴趣的是关于L（s,f）另一种形式的幂估计.即:假设f是SL2（Z）上的标准化的Maass尖形式,对于任意固定的数A≥2,我们将M（A）（≥ 1）定义为所有M（≥1）的最小值,其中M定义为:对任意的ε＞0,有∫1T|L（1/2+it,f）|A dt＜＜TM+ε.其中,L（s,f）是f的自同构L-函数.这个定义类似于ζ（s）关于幂估计的定义.很自然地,我们将寻找M（A）的上界.在这篇文章中,我们研究了当2≤4≤6时Maass尖形式的M（A）的上界的有关结果,并应用它来得到L-函数的零点密度估计.对ζ（s）我们可以用指数和（指数对）的理论,而这些对于L（s,f）是未知的,因此,我们得到的M（A）的界是比ζ（s）相应的界低的.定理1.1.若A≥2是一个固定的数,M（A）由∫1T|L（1/2+it,f）|A dt＜＜TM+ε定义,那么我们有M（A）≤1+A-2/4,2≤A＜6.L-函数的幂估计在解析数论的许多分支中有着广泛的应用.例如,我们可以利用它来得到L-函数的零点密度估计.下面我们来定义N（σ,T）=#{ρ=β+iγ:L（p,f）=0,σ-＜β＜1,0≤γ≤T},其中0 ≤σ＜1.用它来表示一定范围内L-函数的零点的个数.对于SL2（Z）上全纯尖形式f的自同构L-函数L（s,f）,Ivic[8]和Kamiya[11]分别得出下列结论:N（σ,T）＜＜T4（1-σ）/3-2σ+ε,1/2≤σ＜1;N（σ,T）＜＜T2（1-σ）/σ+ε,3/4≤σ＜1.后来,Sankaranarayanan 和 Sengupta[19]证明了 SL2（Z）上 Maass 形式的1/2≤σ＜1时的第一个式子的结果.最近,Xu[24]和Tang[20]证明了 SL2（Z）上Maass形式的3/4≤σ＜1时的第二个式子的结果.另外,[25]和[3]研究了 GL（m）上自同构L-函数的零点密度估计.在本文中,我们将运用我们得到的L-函数的高次幂估计来改进前面的相应的结果.定理1.2.若A≥2是一个固定的数,则第一个式子当5/2＜A≤6时成立,第二个式子当4＜A≤6时成立.推论1.3.若在定理1.2中取A=6,那么,我们可以得到一个较好的结果:注1.4.我们注意到当5/6＜σ＜1时,第一个估计值比T4（1-σ）/3-2σ+ε好.定理1.5.若A ≥ 2是一个固定的数,则N（σ,T）＜＜T2-2σ/σ+ε,3/4≤σ＜1,其中2≤A ≤ 6.

关键词： L-函数 Maass尖形式幂估计

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