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WEAK ERROR ESTIMATES FOR TRAJECTORIES OF SPDEs UNDER SPECTRAL GALERKIN DISCRETIZATION

Journal of Computational Mathematics 2018年第2期36卷 159-182页

作者： Charles-Edouard Brehier martin hairer Andrew M. Stuart Univ Lyon CNRS Universite Claude Bernard Lyon 1 UMR5208 Institut Camille Jordan F-69622 Villeurbanne France Department of Mathematics Imperial College London London SW7 2AZ UK Computing and Mathematical Sciences California Institute of Technology 1200 E. California Blvd. MC 305-16 Pasadena CA 91125 USA

We consider stochastic semi-linear evolution equations which are driven by additive, spatially correlated, Wiener noise, and in particular consider problems of heat equation （analytic semigroup） and damped-driven wave equations （bounded semigroup） type. We discretize these equations by means of a spectral Galerkin projection, and we study the approximation of the probability distribution of the trajectories： test functions are regular, but depend on the values of the process on the interval [0, T]. We introduce a new approach in the context of quantative weak error analysis for discretization of SPDEs. The weak error is formulated using a deterministic function （It6 map） of the stochastic convolution found when the nonlinear term is dropped. The regularity properties of the It6 map are exploited, and in particular second-order Taylor expansions employed, to transfer the error from spectral approximation of the stochastic convolution into the weak error of interest. We prove that the weak rate of convergence is twice the strong rate of convergence in two situations. First, we assume that the covariance operator commutes with the generator of the semigroup： the first order term in the weak error expansion cancels out thanks to an independence property. Second, we remove the commuting assumption, and extend the previous result, thanks to the analysis of a new error term depending on a commutator.

关键词： Stochastic Partial Differential Equations Weak approximation Spectral Galerkin discretization

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