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On the Restricted Arc-connectivity of s-geodetic Digraphs

Acta Mathematica Sinica,English Series 2010年第10期26卷 1865-1876页

作者： camino balbuena Pedro GARCíA-VZQUEZ Departament de Matemàtica Aplicada Ⅲ Universitat Politècnica de Catalunya Departamento de Matemática Aplicada I Universidad de Sevilla E.T.S. de Arquitectura

For a strongly connected digraph D the minimum ,cardinality of an arc-cut over all arc-cuts restricted arc-connectivity λ′（D） is defined as the S satisfying that D - S has a non-trivial strong component D1 such that D - V（D1） contains an arc. Let S be a subset of vertices of D. We denote by w＋（S） the set of arcs uv with u ∈ S and v S, and by w-（S） the set of arcs uv with u S and v ∈ S. A digraph D = （V, A） is said to be λ′-optimal if λ′（D） =ξ′（D）, where ξ′（D） is the minimum arc-degree of D defined as ξ（D） = min {ξ′（xy）： xy ∈ A}, and ξ′（xy） = min（｜ω＋（{x,y}）｜, ｜w-（{x,y}）｜, ｜w＋（x） ∪ w- （y）｜, ｜w- （x） ∪ω＋（y）｜}. In this paper a sufficient condition for a s-geodetic strongly connected digraph D to be λ′-optimal is given in terms of its diameter. Furthermore we see that the h-iterated line digraph Lh（D） of a s-geodetic digraph is λ′-optimal for certain iteration h.

关键词： Restricted arc-connectivity arc-cut diameter s-geodetic digraph line digraph

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A Sufficient Degree Condition for a Graph to Contain All Trees of Size k

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2011年第1期27卷 135-140页

作者： camino balbuena Alberto MARQUEZ Jose Ramon PORTILLO Departament de Matemhtica Aplicada III Universitat Politecnica de Catalunya C/ Jordi Girona 1-3 (Edifici C2 Despatx 302) 08034 Barcelona Spain Departamento de Matemdtica Aplicada I Universidad de SeviUaE.T.S. de Informdtica Avda. Reina Mercedes s//n 41012 SeviUa Spain

The Erdos-Sos conjecture says that a graph G on n vertices and number of edges e（G）〉 n（k - 1）/2 contains all trees of size k. In this paper we prove a sufficient condition for a graph to contain every tree of size k formulated in terms of the minimum edge degree ξ（G） of a graph G defined as {（G） = min{d（u）＋ d（v） - 2 ： uv ∈ E（G）}. More precisely, we show that a connected graph G with maximum degree △（G） ≥ k and minimum edge degree {（G）〉 2k - 4 contains every tree of k edges if dG（x）＋ dG（y） ≥ 2k - 4 for all pairs x, y of nonadjacent neighbors of a vertex u of dG（u） ≥ k.

关键词： Erdos-Sos conjecture

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On Second Order Degree of Graphs

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2012年第1期28卷 171-182页

作者： Gabriela ARAUJO-PARDO camino balbuena Mika OLSEN Pilar VALENCIA Instituto de Matemáticas rea de la Investigación CientíficaUniversidad Nacional Autónoma de MxicoCircuito ExteriorCiudad UniversitariaCoyoacan04510 MxicoD.F.Mxico Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de CatalunyaC/Jordi Girona 1-3(Edifici C2Despatx 302)08034-BarcelonaSpain Departamento de Matemáticas Aplicadas y Sistemas Universidad Autónoma MetropolitanaCalle Artificios 402o pisoCol.Hidalgo Delegación lvaro Obregón01120 Mxico D.F.Mxico

Given a vertex v of a graph G the second order degree of v denoted as d2（v） is defined as the number of vertices at distance 2 from v. In this paper we address the following question： What axe the sufficient conditions for a graph to have a vertex v such that d2（v） ≥ d（v）, where d（v） denotes the degree of v？ Among other results, every graph of minimum degree exactly 2, except four graphs, is shown to have a vertex of second order degree as large as its own degree. Moreover, every K4^--free graph or every maximal planar graph is shown to have a vertex v such that d2（v） ≥ d（v）. Other sufficient conditions on graphs for guaranteeing this property axe also proved.

关键词： Second order degree K4^-free graph planar graphs

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A Sufficient Condition for Kernel Perfectness of a Digraph in Terms of Semikernels Modulo F

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2012年第2期28卷 349-356页

作者： camino balbuena Hortensia GALEANA-SNCHEZ Mucuy-kak GUEVARA Departament de Matematica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México rea de la Investigación Científica Circuito Exterior Ciudad Universitaria Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México Universidad 3000 Circuito Exterior s/n Ciudad Universitaria

A kernel of a directed graph is a set of vertices which is both independent and absorbent. And a digraph is said to be kernel perfect if and only if any induced subdigraph has a kernel. Given a set of arcs F, a semikernel S modulo F is an independent set such that if some Sz-arc is not in F, then there exists a zS-arc. A sufficient condition on the digraph is given in terms of semikernel modulo F in order to guarantee that a digraph is kernel perfect. To do that we give a characterization of kernel perfectness which is a generalization of a previous result given by Neumann-Lara [Seminucleos de una digrafica. Anales del Instituto de Matematicas 2, Universidad Nacional AutSnoma de Mexico, 1971]. And moreover, we show by means of an example that our result is independent of previous known sufficient conditions.

关键词： Digraphs. kernel kernel-nerfect semikernel

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Topological Minors in Bipartite Graphs

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2011年第11期27卷 2085-2100页

作者： camino balbuena Martin CERA Pedro GARCIA-VAZQUEZ Juan Carlos VALENZUELA Departament de Matematica Aplicada III Universitat Politecnica de Catalunya C/ Jordi Girona 1-3 （ Edifici C2 Despatx 302） 08034 Barcelona Spain Departamento de Matemdtica Aplicada I Universidad de SeviUa EUIT Agrlcola Ctra. Utrera Kin. 1 41013 Sevilla Spain Departamento de Matemdtica Aplicada I Universidad de Sevilla ETS Arquitectura Avda. Reina Mercedes 2 41012 Sevilla Spain Departamento de Matemdticas Universidad de Cddiz EPS Algeciras Avda. Ramdn Puyol s/n 11202 Algeciras Spain

For a bipartite graph G on m and n vertices, respectively, in its vertices classes, and for integers s andt such that 2≤ s ≤ t, 0≤ m-s ≤ n-t, andre＋n≤ 2s＋t-1, we prove that if G has at least mn- （2（m - s）＋ n - t） edges then it contains a subdivision of the complete bipartite K（s,t） with s vertices in the m-class and t vertices in the n-class. Furthermore, we characterize the corresponding extremal bipartite graphs with mn- （2（m - s）＋ n - t ＋ 1） edges for this topological Turan type problem.

关键词： Bipartite graphs extremal graph theory topological minor

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