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Well-Posedness of Stochastic Continuity Equations on Riemannian Manifolds

Chinese Annals of Mathematics,Series B 2024年第1期45卷 81-122页

作者： luca galimberti Kenneth H.KARLSEN Department of Mathematical Sciences NTNU Norwegian University of Science and TechnologyN-7491 TrondheimNorway Department of mathematics University of OsloP.O.Box 1053BlindernN-0316 OsloNorway

The authors analyze continuity equations with Stratonovich stochasticity,■ρ+divh[ρo(u(t,x)+∑_(i=1)^(N)a_(i)(x)w_(i)(t))]=0defined on a smooth closed Riemannian manifold M with metric *** velocity field u is perturbed by Gaussian noise terms Wi(t),:WN(t)driven by smooth spatially dependent vector fields a1(x),...,aN(x)on *** velocity u belongs to L_(t)^(1)W_(x)^(1,2)with divh u bounded in Lf,for p>d+2,where d is the dimension of M(they do not assume div_(h) u∈L_(t,x)^(∞)).For carefully chosen noise vector fields ai(and the number N of them),they show that the initial-value problem is well-posed in the class of weak L^(2) solutions,although the problem can be ill-posed in the deterministic case because of concentration *** proof of this“regularization by noise”result is based on a L^(2) estimate,which is obtained by a duality method,and a weak compactness argument.

关键词： Stochastic continuity equation Riemannian manifold Hyperbolic equa-tion Non-smooth velocity field Weak solution Existence Uniqueness

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