关于胜率的思考
作者单位：清华大学
会议名称：《第十二届全国体育科学大会》
会议日期：2022年
关 键 词：胜率 胜频 最终胜频 胜频-场次曲线 二项分布概率模型
摘 要：研究目的:指出现实当中所有运动项目出现的胜率数据本质上都只是胜频(频率),而非胜率;建立一个全新的关于胜率的研究体系。概率论中频率和概率有着本质的区别,现实当中所有运动项目出现的胜率数据本质上都只是频率,而非概率,然而很多研究会把这些数据当作胜率来使用。基于这样的现实背景,我们认为有必要对这个问题进行系统的研究。为了更好地论述,我们对一些重要的概念进行了定义,包括胜率、胜频、最终胜频和胜频-场次曲线。胜频指获胜比赛场次与参加比赛场次的比值;胜率指个人/球队在一场比赛中获胜的概率(可以表征实力);最终胜频指最后一局/场比赛结束后个人/球队的胜频;胜频-场次曲线指排名制运动项目中,某一赛段,个人/球队的胜频随着参加比赛场次变化的曲线(不限于散点、折线或曲线)。本文以NBA球队为例对胜频和胜率展开研究,根据球队比赛的情境将其归纳概括为1v1模式和1vN模式。1v1模式指NBA某赛季中比赛对阵双方是固定的某两支球队,1vN模式指NBA某常规赛中比赛对阵双方一方是固定的某一支球队,另一方是其余29支球队。这种模式的划分同样适用于其它运动项目。研究方法:本文以NBA球队为例,通过数理统计、建模、数值模拟和数学推导等方法对胜频和胜率进行了研究。球队胜频-场次曲线的绘制基于数理统计的方法;将球队比赛看作伯努利试验,从而引入二项分布概率模型对问题进行深入的研究,是一种模型思维;采用数学推导,根据伯努利大数定律得到了有关胜频和胜率的关系的两个结论。数值模拟是对于1v1模式下,球队实际比赛场次过少提出的解决方案,即通过计算机模拟大量比赛,绘制相应的胜频-场次曲线,验证我们的推论。所有胜频-场次曲线的绘制都在R中进行。研究结果:1vN模式下,根据实际数据绘制的胜频-场次曲线很好的体现了稳定性特征,说明该模式下,比赛仍然可以看作伯努利试验,对该问题的研究可以引入二项分布概率模型。1v1模式下,球队之间的比赛场次较少,胜频-场次曲线没有体现较大的平稳性,因此我们采用数值模拟,绘制了模拟500场比赛下的胜频-场次曲线。理想情形下,无论是1v1模式,还是1vN模式,当比赛场次足够大时,都可以得到以下结果:胜频依概率收敛于胜率,最终胜频可以近似看作胜率。实际情况中,在无法证明比赛场次足够大的情况下,我们不能确认最终胜频可以表征胜率的程度,因此不能用最终胜频代替胜率。研究结论:所有竞技项目中(不限于运功项目)的胜率数据本质上都是胜频,而非胜率。胜频-场次曲线是研究胜率和胜频的重要图像。它不仅是一种可视化手段,对胜频和胜率的两条推论进行了验证;而且发挥了一个很有意义的作用-揭示了在更复杂的情境(1vN模式)下,比赛仍然能够体现频率和概率的关系。这一点使得我们在研究运动项目有关胜频和胜率的问题时,可以不再局限于1v1模式。1v1模式下,球队的胜率更加具体和准确,每支球队对其它29支球队都有各自的胜率,它可以更好地描述和比较某两支球队的实力。相比之下,1vN模式下球队的胜率更加的笼统概括,每支球队的胜率都是相对于另外29支球队作为整体而言的,可以更好的反映球队在整个联盟中的实力水平和地位。二项分布不仅适用于传统的n重伯努利试验(1v1模式),很大可能性也同时适用于非传统的n重伯努利试验(1vN模式)。理想模式下,根据伯努利大数定律我们得到有关胜频和胜率的两个推论:1)n→∞时,胜频依概率收敛于胜率;2)n→∞时,最终胜频可以代替胜率。实际情况中,当我们不能保证在比赛场次为n的水平下最终胜频可以很好地表征胜率时,最终胜频就不能作为研究运动主体胜率的数据。关于比赛场次n为多少时胜频依概率收敛于胜率成立这一问题,本文没有给出答案。并且我们目前能掌握的信息是,关于这个问题的求解一定是较复杂的,不过的确有很大的研究空间和意义,我们也会在之后的研究中重点关注该问题。最后,我们希望国内各大运动项目网站或许可以考虑将胜率改称为胜频,以避免产生歧义。