四阶方程及特征值问题基于混合格式的一种有效的Legendre-Galerkin逼近

作     者：魏涛 

作者单位：贵州师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：安静

授予年度：2024年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：四阶方程 四阶特征值问题 混合格式 Legendre-Galerkin逼近 误差估计 

摘      要：本文提出了四阶方程及特征值问题基于混合格式的一种有效的Legendre-Galerkin逼近。 针对四阶方程,本文提出了基于混合格式的一种有效的LegendreGalerkin逼近。首先,通过引入一个辅助函数,我们将原问题转化为与其等价的二阶混合格式,再引入一类Sobolev空间及其逼近空间,建立了二阶混合格式的弱形式及相应的离散格式。其次,我们证明了混合变分问题和离散变分问题存在唯一的解,通过利用非一致带权Sobolev空间中正交投影算子的逼近性质,我们证明了逼近解的误差估计。另外,利用Legendre多项式的正交性质,构造了逼近空间中的一组适当的基函数,使得离散混合变分形式中的质量矩阵和刚度矩阵都是稀疏的,从而可以使用共轭梯度法快速求解。最后,我们给出了两个数值算例,数值结果表明了我们算法的高精度与有效性。 针对四阶特征值问题,本文提出了基于混合格式的一种有效的Legendre-Galerkin逼近。首先,通过引入一个辅助函数,将原问题化为一个与其等价的二阶混合格式。通过引入一类适当的Sobolev空间,建立了与原问题相应的变分形式,并在解足够光滑条件下证明了其等价性。其次,基于Legendre多项式的正交性质,我们构造了两组紧凑的基函数,并导出了与离散格式等价的线性特征系统。最后,我们给出了两个数值例子,数值结果表明了算法的有效性与收敛性。