关于代数几何码的Galois对偶码的研究

作     者：李家齐 

作者单位：中国科学技术大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈小伍

授予年度：2023年

学科分类：11[军事学] 1105[军事学-军队指挥学] 110505[军事学-密码学] 

主      题：代数几何码 Galois对偶码 Galois LCD码 MDS码 

摘      要：基于有限域上代数曲线的有理点,Goppa最早定义并研究了代数几何码,其重要性质之一就是存在能够突破Gilbert-Varshamov界的代数几何码序列。此外,代数几何码在构造具有良好性质的线性码方面也有着广泛的应用。例如,可以用代数几何码构造最优局部修复码、自对偶近极大距离可分码(自对偶NMDS码)和线性补对偶码(LCD码)。2017年,Fan等人推广了 Euclid内积和Hermite内积,定义了 Galois内积。由此,我们可以定义Galois对偶码和Galois LCD码的概念。在已有的结果中,代数几何码的Galois对偶码并没有写成代数几何码的形式。本文的主要研究目标就是将代数几何码的Galois对偶码写成代数几何码的形式。本文的主要结果如下:首先,我们证明了代数函数域F/Fpe上的代数几何码CL,F(D,G)的h-Galois对偶码是代数几何码CL,F (φh(D),φh(G)),其中F /Fpe是一个与F/Fpe有关的代数函数域而映射φh是从F到F 的同构,并且对Fpe中任意元素a,有φh(a)=ape-h成立;然后,我们给出了一个关于函数域F/Fpe的充分条件,使得与之有关的函数域F /Fpe可以是F/Fpe自身;最后,作为上述结果的应用,我们在有理函数域上构造了一类h-Galois LCD MDS码。