有限域上一元多项式环中的剩余符号矩阵

作     者：邵思淇 

作者单位：华南理工大学 

学位级别：硕士

导师姓名：胡甦

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 0701[理学-数学] 070101[理学-基础数学] 

主      题：代数数论 组合数论 有限域上的一元多项环 互反律 Chebotarev密度定理 

摘      要：在数论发展的早期,人们已经注意到整数环Z与有限域上一元多项式环Fq[T]具有类似的算术性质.19世纪,Dedekind给出了Fq[T]上的二次互反律.1935年,Carlitz证明了Fq[T]上的高次互反律.2016年,Dummit,Dummit,Kisilevsky构造出由二次剩余符号定义的矩阵集合,该类矩阵与素理想在复合二次扩张中的分裂有关,被称为二次剩余符号矩阵.Dummit等人运用数域上的二次互反律研究了这类矩阵所具有的结构,并进一步研究了域Q(（-3）)上的三次剩余符号及域Q（i）上的四次剩余符号所构成的矩阵的结构.本文首先类比数域上二次剩余符号矩阵的研究方法,给出有限域上一元多项式环Fq[T]上的二次剩余符号所构成的矩阵的结构.随后,运用Chebotarev密度定理研究该矩阵在高次剩余符号上的推广,即给出有限域上一元多项式环Fq[T]上的三次剩余符号矩阵及d次剩余符号矩阵的定义并研究其结构,这里d为Z中任意素数,d|（q-1）且d≠p.