双调和函数的Khavinson猜想

作     者：贾宝蕊 

作者单位：天津职业技术师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘华

授予年度：2024年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：双调和函数 Khavinson猜想 双解析函数 Poisson核 凸函数 

摘      要：本文的主要研究对象是双调和函数的Khavinson猜想,该猜想是由Khavinson在1992年提出,不久就引起了数学界的广泛关注和研究.本文正是在这个猜想的基础上继续进行研究:当双调和函数的定义域限制在单位圆盘的实数域上时,同样满足Khavinson猜想,即存在最优值.在研究的过程中,本文将整个问题主要分成三部分完成.第一部分,介绍了双调和函数和双解析函数的关系,通过双解析函数Poisson核的积分表达式推导出了双调和函数Poisson核的积分表达式.这一步的主要目的是得到双调和函数的一个积分表达式,为后续验证Khavinson猜想打下基础.第二部分,处理和简化双调和函数Poisson核的积分表达式,将Khavinson猜想等价成一个优化问题,将其转化为一个求解C(r)的最优解问题.这一步的主要目的是将函数表达式转化成一个较容易计算和理解的形式,便于后续处理函数和进行Khavinson猜想的研究和证明.第三部分,文章对函数表达式中某些无关变量取特殊值,通过简化所研究的函数验证得到C(r)是凸函数,从而得出最终结论.主要目的是证明了双调和函数Khavinson猜想的正确性.全文共分为五章.第一章绪论,首先介绍了Khavinson猜想的提出、多年来大批数学家关于Khavinson猜想的发展历史和过程以及它本身所具有的研究意义,然后简明扼要地概括了本文的主要研究过程和方法.第二章预备知识,明确阐述了Khavinson猜想的研究内容和大致思路,以及分析了刘聪文教授对Khavinson猜想的求解思路,本文是从刘聪文教授的思想中得到启发,进而研究双调和函数的Khavinson猜想.第三章双调和函数的Poisson核,通过双调和函数与双解析函数之间的联系,借助调和函数边值条件的定理和定义,计算出双调和函数Poisson核的积分表达式.第四章双调和函数的Khavinson猜想,给出了化简后双调和函数的函数表达式,通过对原函数的图像进行观察以及计算其二阶导大于零,证明该函数是凸函数,最终得出结论其存在最优值,满足Khavinson猜想.第五章验证,对上述研究过程进行检验,利用Maple通过对自变量取值范围的缩小,对最低点再次进行逼近,进一步观察精确后的图像.以及对特殊点求值,更加验证了该研究结果的正确性.