球形药丸中Fick律与非Fick律药物扩散模型的数学理论及其解的性质

作     者：阮倩倩 

作者单位：华中科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：汤燕斌

授予年度：2023年

学科分类：1006[医学-中西医结合] 07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 10[医学] 100602[医学-中西医结合临床] 

主      题：Fick定律 非Fick扩散 延迟积分-微分方程 适定性 渐近行为 时滞效应 

摘      要：本文利用数学模型研究了球形药丸基质中药物扩散现象的基本生物物理和生物化学规律。由于药物在聚合物基质的溶解和释放过程中,聚合物基质对渗透剂分子存在一定的延迟反应,将其扩散过程的类型定义为Fick型扩散是研究该类问题的经典假设,但许多实验结果显示,使用非Fick型扩散模型可以更准确描述相应的扩散现象。从扩散过程的众多研究成果来看,基于Fick律而建立的经典扩散方程符合由高浓度向低浓度驱动的宏观现象,不涉及扩散系统内部原子运动的微观过程,但该模型提供的药物浓度和释放总量与实验数据相比不够精确,其无限传播速度也不符合实际。而基于非Fick律建立的扩散方程引入了时间延迟效应,重新定义了药物扩散通量,引入时滞量τ,建立了延迟积分――微分方程,相比于经典的药物扩散方程,修正了方程的无限传播速度,使控制药物释放的主要因素不局限于浓度差,使反应具有延迟性,进一步理解了药物释放的机理。在第二章中,应用经典的Fick律扩散理论建立了球形药丸中药物释放的基本模型,分析了该模型的一类初边值问题所描述的实际背景,讨论并证明了Fick扩散模型初边值问题解的存在唯一性,最后研究了方程解的渐近性态,在大时间的扩散过程之后,药物浓度主要取决于模型的第一个特征值所对应的模态且趋向于零,这些关于药物扩散所展现出的渐近性态正符合我们实际药物扩散模型的变化趋势,具有一定的适用性和可靠性。在第三章中,考虑了基于非Fick律建立的扩散方程,由于此时扩散过程有延迟反应,为此将药物扩散通量进行修正,引入一种带时滞的非Fick扩散通量,即时间t的通量与t-τ时的浓度梯度有关,建立了延迟积分――微分反应扩散方程,证明了带时滞的非Fick扩散模型初边值问题解的适定性及其渐近性质。除此之外,对比上一章中经典的Fick扩散方程,讨论了时滞参数τ对药物浓度、药物扩散总质量所产生的延迟效应,并证明了延迟模型的解收敛于经典扩散模型的解。