基于移位Legendre多项式算法对粘弹性材料结构的动力学分析

作     者：张美华 

作者单位：燕山大学 

学位级别：硕士

导师姓名：郝亚娟

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 08[工学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 0801[工学-力学（可授工学、理学学位）] 080102[工学-固体力学] 

主      题：移位Legendre多项式 分数阶本构模型 变分数阶本构模型 粘弹性材料 动力学分析 

摘      要：粘弹性材料已广泛的应用于生物、物理、工程等领域,并且在随时间变化的力学行为中起着重要的作用。分数阶算子是描述粘弹性行为,特别是建立时间变化模型的有效工具。目前,分数阶本构模型因其能以较少的参数描述粘弹性材料的行为而被广泛应用于建模。变分数阶导数也为准确描述力学性质提供了一种新的工具,变分数阶演算方法使非局部性更加明显,可以很好地用于复杂问题的建模。大部分学者都是研究在频域内求粘弹性材料结构方程的数值解,研究在时域内直接求解的学者较少。因此,本文利用分数阶和变分数阶本构模型构建三种粘弹性材料结构的微分控制方程,基于移位Legendre多项式算法直接在时域内求解控制方程,并且对其进行动力学分析。首先,基于变分数阶本构模型建立粘弹性悬臂梁的变分数阶控制方程。根据移位Legendre多项式,推导出整数阶和变分数阶微分算子矩阵,将控制方程转化成矩阵乘积的形式,再利用配点法对变量进行离散,结合最小二乘法直接在时域内求得控制方程的数值解。得到聚对苯二甲酸乙二醇酯(PET)悬臂梁和高密度聚乙烯(HDPE)悬臂梁在均布荷载和简谐荷载下的位移和应力数值解。对PET悬臂梁和HDPE悬臂梁的位移进行比较,所得结果与实际材料特性一致。其次,利用分数阶Kelvin-Voigt模型建立非线性粘弹性杆的分数阶控制方程,基于移位Legendre多项式得到在时域内直接求解分数阶控制方程的微分算子矩阵。通过精确解与无量纲方程得出的数值解的比较验证算法的准确性。分析粘弹性杆在不同加载条件下的动力响应和加载参数对杆动态特性的影响,研究杆的位移和应力在不同加载时间下的变化规律。最后,采用变分数阶本构模型建立具有三个独立变量的轴向运动粘弹性板的变分数阶控制方程。利用移位Legendre多项式算法直接在时域内获得数值解。算法的准确性通过求解无量纲方程被证明。研究不同加载条件和速度下粘弹性板的位移变化情况,得出粘弹性板的位移随着速度和荷载的加大而增大的规律,所得变化规律与已有文献结论相同。从而证明该算法对于求解此类方程的有效性。本文对粘弹性材料悬臂梁、杆和板的研究,为粘弹性材料的研究和性能预测提供了理论支持,具有实际应用的意义。