WENO-AO型高分辨率格式构造及其性质研究

作     者：建芒芒 

作者单位：长安大学 

学位级别：硕士

导师姓名：郑素佩

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：双曲守恒律方程 熵稳定格式 自适应WENO-AO重构 保号性 保平衡性 中心迎风格式 

摘      要：双曲型方程间断解的存在,使得构造求解该类方程的具有良好性质的高分辨率数值求解格式具有重要意义,比如构造出满足离散熵不等式的熵稳定格式可以在众多弱解中求得具有物理意义的解,而构造出满足具有保平衡性特点的数值格式能准确求解稳态扰动问题等。在具有高分辨率的高阶熵稳定格式的构造过程中,守恒型变量重构前后的保号性是非常重要的。鉴于此,本文构造了一类WENO-AO(Weight Essentially Non-oscillatory with Adaptive Order)型重构,并从理论上研究该WENO-AO型重构的保号性,在此基础上构造两类结构简单、易于推广的高分辨率数值求解格式——WENO-AO型中心迎风格式与WENO-AO型熵稳定格式,并将两类格式的数值结果进行比较。并进一步研究了在多个数值算例中表现良好的WENO-AO型熵稳定格式的保平衡性,从理论与数值实验两方面论证了该类格式的保平衡性。具体工作如下:(1)提出了一种新的保号WENO-AO型重构,并将该重构与不同数值通量相结合得到了两类求解双曲守恒律方程的高分辨率数值格式。变量重构是构造高阶数值格式的重要环节,其中,构造高阶熵稳定格式尤其需要对重构方式进行限制,要求重构必须满足保号性。鉴于三阶紧致CWENO重构良好的保号性及稳定性,引入该重构对原WENO-AO重构进行改进,得到一类新的保号WENO-AO型重构。基于保号WENO-AO型重构构造了两类高阶数值格式,其一是在四阶熵守恒通量的基础上添加由保号WENO-AO型重构确定的耗散项,得到了一类四阶保号熵稳定格式。其二是将所构造的保号WENO-AO型重构与中心迎风数值通量相结合得到了一类五阶的低耗散中心迎风格式。最后将两类格式应用于具体算例检验了不同格式的性能。(2)针对带有底部地形源项的浅水波方程证明了高阶保号熵稳定格式的保平衡性。保平衡性是数值格式准确刻画稳态扰动问题的一类重要性质,要精确求解该问题,所构造的数值格式必须满足保平衡性,即数值通量与源项保持平衡。为保证离散格式的保平衡性,依据方程的熵守恒通量形式,对应地采用低阶离散形式的线性组合作为源项离散方式以准确平衡非零通量与源项,给出了高阶熵守恒格式及熵稳定格式的保平衡性定理及其理论证明,并通过稳态扰动问题的数值求解对格式的保平衡性进行了验证。