李群上的离散变分方法及其应用研究

作     者：牛奔 

作者单位：辽宁大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘世兴

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 070401[理学-天体物理] 070104[理学-应用数学] 0704[理学-天文学] 0701[理学-数学] 

主      题：李群李代数 李群变分积分子 双哑铃刚体模型 Hamel变分积分子 能量守恒 

摘      要：太阳系内小天体,包括小行星,彗星等是未来深空探测的重要目标。开展小行星探测任务有助于研究小天体的物质组成和运动规律,寻找太阳系的起源和演化等基本天文学问题的答案。在地球历史上曾出现过多次小行星撞击地球事件,这些撞击有时会引起地球气候的变化,甚至对人类的生存与发展构成潜在的重大威胁。因此开展近地小行星的探测、开发与利用和应对小行星撞击风险研究,具有非常迫切的现实需求和深远的战略意义。自从20世纪90年代人类使用小行星探测器第一次发现双小行星以来,相继又有相当数量的近地双小行星被发现。本文面向小行星防御中的轨道动力学问题,针对同步双星系统,采用刚性哑铃体作为简化模型,通过李群建模和离散变分算法,构造了刚性哑铃体系的数值计算方法,研究了该系统的动力学特性。首先,以刚性哑铃体作为同步双星的简化模型进行研究,虽然该系统具有能量守恒特性,但是使用数值方法研究这一系统时,一般迭代算法并不能长时间保持系统能量守恒。因此,我们在建模过程中,采用李群建模方法,使用特殊正交群描述物体姿态,避免参数化表达带来的奇异性问题,使得计算过程始终保持物体姿态固有的李群特性。其次,在数值计算过程中,采用离散变分方法,将作用量离散得到每一个时间区间的离散作用量,然后利用离散Hamilton变分原理得到每一个时间区间上的离散动力学方程,这种方法即为李群变分积分方法。它是将时间离散得到每一时间区间的离散的方程组后求解李群的增量,所以上一步的误差不会进入到下一步的求解中,从而避免出现其它数值方法存在的误差累积问题,具有保能量的特性,并自然保持系统的李群结构。最后,基于几何力学理论,根据离散的Hamilton变分原理与离散的Legendre变换,构造无引力摄动下中心力场中双哑铃体的Hamilton体系的李群变分积分公式,给出无引力摄动下双哑铃体的一般格式的李群变分积分公式和Hamel变分积分公式,并对双哑铃体系进行数值仿真。数值结果表明:采用基于离散变分原理的一般格式的李群变分积分公式和Hamel变分积分公式进行数值计算所得数值结果相较于直接离散Euler-Lagrange方程组所得数值结果更加精确,能够较好的保持系统固有的守恒量。因此,本文的研究成果将为小行星的轨道预测、防御、探测和小行星探测器轨道动力学建模等实际问题的解决提供高效、准确的数值模拟方法。