框架理论在信号复原中的应用研究

作     者：李徐瑾 

作者单位：电子科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：冷劲松

授予年度：2023年

学科分类：0711[理学-系统科学] 07[理学] 08[工学] 080401[工学-精密仪器及机械] 070104[理学-应用数学] 0804[工学-仪器科学与技术] 080402[工学-测试计量技术及仪器] 0701[理学-数学] 

主      题：K-框架 稳定性 信号复原 

摘      要：当今信息通讯技术正在迅猛发展,而框架理论为信息通讯技术的发展提供了强有力的支撑,自框架理论建立以来,众多专家学者系统地研究了Banach空间和Hilbert空间中框架的性质,并应用框架理论解决信号复原问题,取得了一系列重要的成果。本文以K-框架的性质和基于传统框架信号复原算法的改进为重点研究内容,主要分为下列三个部分:1.讨论了K-框架的相关性质。先介绍了框架理论的相关性质和定理,研究在线性映射、非负矩阵及特定有界线性算子作用下K-框架的各种性质,并对K-框架的框架界做了估计,以及研究了在受特定扰动下对偶K-框架的相关性质;2.研究了K-框架及编织K-框架的稳定性和相关的不等式。基于现有扰动条件及结论,研究了基于正有界数列的扰动条件下使得K-框架仍保持性质不变的充分条件,说明该扰动是稳定的。给出了编织K-框架在满足特定不等式条件以及在n次正算子作用下稳定性的充分条件,给出了相应的框架界估计,并得到了四个推论,讨论了在有限维Hilbert空间下n次正算子谱分解时框架界的进一步估计;在现有矩阵特征值不等式的基础之上,给出了框架算子与Gram算子作用下的几个不等式;3.优化了传统的信号复原算法。采用矩阵的奇异值分解方法改进了信号复原过程中框架算子的求逆过程,数值试验表明,该改进提升了信号的传输效率和复原效果;通过正交投影算子及预处理的共轭梯度算法构建了有限维框架的迭代算法来逼近框架算子的逆算子,数值试验表明,在已知框架系数的条件下,复原未知信号函数时取得了较好的复原效果。