随机抛物方程状态观测问题

作     者：杜万里 

作者单位：电子科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：窦芳芳

授予年度：2023年

学科分类：02[经济学] 0202[经济学-应用经济学] 020208[经济学-统计学] 07[理学] 0714[理学-统计学（可授理学、经济学学位）] 070103[理学-概率论与数理统计] 0701[理学-数学] 

主      题：随机抛物方程 Carleman估计 条件稳定性 正则化方法 共轭梯度法 

摘      要：随机型偏微分方程是随机型微分方程的自然推广,研究动因主要有两个方面:一方面,随机型偏微分方程是一个涉及随机过程和偏微分方程的交叉学科,且一直是随机分析领域中最活跃的课题之一。近年来随机分析的快速发展带动了随机型偏微分方程的研究,并且使之迅速发展为一门独立的学科。另一方面,在物理学、生物学、经济学和控制理论(特别是过滤理论)等许多理论中,随机效应起着核心作用。因此,对确定性模型做随机修正以描述随机效应的影响是必不可少的,这极大地影响了随机型偏微分方程的发展。由于随机型偏微分方程在自然科学和工业研究中的重要作用,对其反问题的研究是具有重要意义的。作为一类特殊的随机型偏微分方程,随机抛物型偏微分方程(简称随机抛物方程)刻画了随机扩散过程随着时间变化的规律,通过研究随机抛物方程,可以了解对应的微观系统的性质。随机抛物方程反问题主要涉及状态观测问题,系数识别问题以及反源问题三个方面。与确定型抛物方程不同,随机抛物方程的解对时间变量不可微,这导致了随机抛物方程研究的新的困难。本论文主要研究了随机抛物方程的状态观测问题,即利用随机扩散过程在当前时刻的测量数据,反演其过往的状态。该问题是不适定的,观测数据的微小误差会造成反演结果的巨大偏差。因此,需要给出初值的先验界以重构该反问题的稳定性。本文通过建立随机抛物方程的全局Carleman估计,得到了该问题的条件稳定性。在此基础上,提出了一种正则化解,并分析了该正则化解的存在唯一性及给定先验界下的误差分析。最后,设计算法重构随机抛物方程正则化解并数值实现。第一章介绍本文相关研究背景与研究现状,叙述本文所研究问题的具体形式以及主要研究工作。第二章证明状态观测问题的条件稳定性估计。首先,建立方程的全局Carleman估计。通过该Carleman估计,证明反问题在给定先验界下的条件稳定性。第三章提出一种Tikhonov正则化解,并利用Carleman估计证明该正则化解在先验假设下的误差估计。第四章设计随机抛物方程状态观测问题的数值算法。首先,基于共轭梯度法给出Tikhonov极小化问题的迭代算法。提出了正-倒向随机抛物方程的交替迭代格式。通过一维和二的若干算例,验证了本文提出的算法的有效性。