若干非线性发展方程的广义Darboux变换及其局域波解的研究

作     者：商慧晶 

作者单位：中北大学 

学位级别：硕士

导师姓名：宋妮

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：非线性Schr?dinger方程 Hirota方程 广义Darboux变换 局域波 

摘      要：非线性发展方程在光纤通信、分子生物学、电磁学等非线性科学领域中扮演着重要角色,常用来描述一些复杂非线性现象。通过研究非线性发展方程的解析解,不仅能探究方程的本质规律,还有助于深入理解生活中的自然现象。随着研究的不断深入,多组分耦合非线性发展方程可以更好地展示微观粒子的运动规律,获得更丰富的解析解。本文基于非线性发展方程,利用广义Darboux变换,推导出对应方程的局域波解,通过数值模拟得到怪波、孤子和呼吸子相互作用的演化图,进一步探究其动力学特性。具体研究内容包括:第一章,介绍了非线性发展方程的研究背景及意义、非线性局域波的研究进展以及广义Darboux变换,阐述了本文的结构和主要工作。第二章,基于双折射光纤中耦合四阶非线性Schr?dinger方程,以平面波解为种子解,利用广义Darboux变换迭代得到该方程的N阶局域波解。通过数值模拟,得到三阶局域波演化图,进一步分析三阶怪波与三个亮暗孤子及三列呼吸子相互作用的动力学特性。结果表明局域波解中的自由参数、分离函数与高阶线性和非线性效应强度系数对局域波在双折射光纤中的传播起决定性作用。第三章,基于α-螺旋蛋白质中三组分四阶非线性Schr?dinger方程,选取零解作为种子解,利用广义Darboux变换推导得到该方程N阶孤子解的递推表达式。选取不同的谱参数和自由参数进行数值模拟,得到四孤子相互作用的动力学演化图,进一步分析四孤子间的弹性碰撞、非弹性碰撞以及束缚态的动力学特性。结果表明四孤子在碰撞过程中,生物能量产生交换,实现能量传递。第四章,基于非均匀光纤中耦合变系数Hirota方程和其Lax对方程,选取平面波解作为种子解,利用广义Darboux变换构造出该方程的N阶局域波解,通过数值模拟得到一系列新颖的动力学演化图。结果表明群速度色散系数、自相位调制和交叉相位调制的非线性系数以及三阶色散系数影响着局部波在非均匀光纤中的传播形状、传播周期以及传播速度。最后,总结本文所研究的内容,展望未来的研究工作及方向。