间接PH曲线的几何特征及相关问题研究

作     者：沈洋 

作者单位：辽宁师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：彭兴璇

授予年度：2023年

学科分类：1305[艺术学-设计学（可授艺术学、工学学位）] 13[艺术学] 08[工学] 080203[工学-机械设计及理论] 081304[工学-建筑技术科学] 0802[工学-机械工程] 0813[工学-建筑学] 080201[工学-机械制造及其自动化] 

主      题：间接PH曲线 几何特征 Bézier曲线 控制多边形 

摘      要：等距曲线在计算机辅助设计(CAD)中有着十分广泛的应用,包括机器人行走轨迹、三维数控加工及路桥设计等.一般的平面多项式曲线不具有有理形式的等距线,具有有理等距线的多项式曲线可以分为Pythagorean hodograph曲线(PH曲线)和间接PH曲线.PH曲线的等距曲线为有理形式,间接PH曲线的等距线经过重新参数化后也可化为有理形式.对于具有有理等距线的平面多项式曲线的代数特征,往往不能简单直观地转化为关于控制多边形的几何约束条件.本文以曲线的复表示为基础,研究了间接PH曲线的几何特征,通过引入辅助控制顶点给出了简洁的证明.具体研究内容如下:1、通过引入辅助控制点研究三次间接PH曲线,将间接PH曲线特殊的代数结构转化为关于控制多边形的几何特征条件.并引入实参数得到更简洁的等价的关于几何特征的充要条件,这里的实参数可以作为形状调节因子调节曲线的形状.2、基于三次间接PH曲线的几何特征条件,提出了一种间接PH曲线的几何构造方法.通过建立笛卡尔坐标系,利用控制多边形的几何特征条件引入实参数,选取不同形状调节因子可构造出不同形状的三次间接PH曲线.3、给出四次间接PH曲线的几何特征条件.四次间接PH曲线根据导矢曲线的不同分解方法包括两类间接PH曲线,以间接PH曲线的代数条件为基础,利用Bernstein多项式和间接PH曲线的导数性质,并通过引入辅助控制顶点将几何特征转化为非线性方程求解问题,使得四次平面曲线成为间接PH曲线的条件可以用关于控制多边形的几何条件来描述.