树形网络上KdV方程的适定性与边界控制问题研究
作者单位：重庆大学
学位级别：硕士
导师姓名：周德芹
授予年度：2022年
学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学]
摘 要：KdV方程是一个经典的非线性色散微分方程,在数学领域具有重要的研究价值.同时KdV方程也被广泛应用于实际问题中,它可以模拟小振幅长波在非线性色散介质中的单向传播,模拟大动脉中的血压波等生物系统中的波动过程.本文主要研究定义在树形网络上仅有1个控制的非线性KdV方程解的适定性问题与边界控制问题.本文分为以下四个章节.第一章,主要介绍了KdV方程与其边界控制问题的实际背景,同时详细介绍了这类方程解的适定性问题与边界控制问题的国内外研究现状.第二章,研究树形网络上非线性KdV方程解的适定性问题.首先考虑无控制的齐次线性方程,证明其在具有正则初始条件与1个边界条件时是适定的,再通过乘子法与稠密性论证降低初始条件的正则性.其次考虑具有源项的线性KdV方程,采用同样的方法证明其适定性.最后利用不动点定理证明非线性KdV方程解的适定性.第三章,研究非线性KdV方程的边界控制问题.首先通过乘子法与对偶论证方法证明定义在树形网络上线性KdV方程的能观性不等式,从而由希尔伯特唯一性方法(HUM)得到线性KdV方程的局部精确可控性结果.最后由不动点定理证明非线性KdV方程的局部精确可控性.第四章,总结本文的主要结论与创新点,并对以后开展的工作进行展望.
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