代数簇维数计算的自动化方法研究

作     者：富庆辉 

作者单位：天津职业技术师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：孙维昆

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 0701[理学-数学] 070101[理学-基础数学] 

主      题：代数簇 代数簇的维数 维数定理 Gr(?)bner基 克鲁尔维数 希尔伯特级数 

摘      要：向量空间中一个非常重要的不变量是子空间的维数,把一个线性方程组的解空间的极大线性无关组向量的个数称为维数。在代数几何中代数簇中维数的概念也同样重要,对于一个由理想生成的代数簇,这个理想对应素理想的升链,我们把最长素理想升链的长度定义成维数。代数的持续发展对于快速求解簇的维数提出了要求,但是确定簇的维数有一定的困难的,可以看到许多例子中计算太过复杂。本文的主要工作是以希尔伯特函数为基础,设计一种算法并在maple平台中将其实现。此外,本文先是展开了交换代数和维数理论的复现工作,对于模和代数进行介绍,包括素谱、准素分解、希尔伯特基定理等等,以及代数集、仿射簇、零点定理、多项式环中的诺特性质等等。作为理论的基础部分,证明了不可约代数闭集的链具有有限长度,并定义了克鲁尔维数,还包括一些底层的算法,比如Buchberger算法,完全二叉树等等。对于程序实现的部分,本文为两步,第一步计算全部由单项式构成的理想定义的簇的维数,然后将一般的理想所定义的簇归结到第一步中。因为单项式理想定义的簇的维数与计算任意簇的维数不同,可以简化为计算理想中最小公共变量集的元素个数。根据单项式理想的这一特性,本文给出一种算法并利用符号计算软件进行实现。对于一般的理想所定义的簇的维数的计算,从希尔伯特级数入手,利用Gr(?)bner基将一般的理想所定义的簇的维数的计算,转化为单项式理想定义的簇的维数的计算,从而实现自动计算一般理想定义的簇的维数。