图的独立数、割边数以及A_σ谱半径

作     者：周梓涵 

作者单位：华中师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李书超

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：A_σ谱半径 Q-谱半径 块图 独立数 割边 

摘      要：图论主要研究图所蕴藏的内部结构,独立数和割边数以及谱半径作为图的重要结构参数和代数参数,能够很好地刻画图的结构性质和代数性质.给定一个图G,我们分别用A(G)和D(G)来表示G的邻接矩阵和度对角矩阵.2017 年,Nikiforov 首次提出Aσ矩阵:Aσ(G)=σD(G)+(1-σ)A(G),其中σ∈[0,1].这种新型矩阵的最大特征值被称为G的Aσ谱半径.显然,A(G)=A0(G),D(G)=A1(G)且Q(G)=2A1/2(G),其中Q(G)表示图G的无符号拉普拉斯矩阵,简称Q-矩阵.设Bnα表示独立数为α的所有n阶块图构成的集合,G(n,k)表示割边数为k的所有n阶图构成的集合.在本文中,我们分别刻画了在Bnα和G(n,k)中,Aσ谱半径达到最大时对应的唯一极图.令人惊讶的是,在这两种情况下对应的极图吻合,都是菠萝图.我们使用不同的方法建立了极图Aσ谱半径的上界,并在σ=1/2时对所得到的两个界进行了比较.本文主要内容分为七章,具体如下:·第一章主要介绍了论文的研究背景.通过对研究背景的系统分析,给出了我们研究工作的动机和出发点,进而展现了我们研究工作的必要性和创新点.·第二章给出了一些基本概念、符号以及一些需要用到的相关已知结论.·第三章对所有的正整数n和满足1≤α≤n-1的正整数α以及σ∈[0,1),刻画了在Bnα中Aσ谱半径达到最大时对应的唯一极图.·第四章对所有满足n≥5的正整数n和满足2≤α≤n-2的正整数α以及σ∈[0,1/2],用n,α,σ建立第三章中所得极图的Aσ谱半径一个紧的上界.·在第五章,对所有的正整数n和满足0≤k≤n-1的整数k以及σ∈[0,1),我们一方面刻画了G(n,k)中Aσ谱半径达到最大时的唯一极图;另一方面,当n≥5.1≤k≤n-3以及σ∈[0,1/2]时,用n,k,σ来建立了该极图Aσ谱半径一个紧的上界.·在第六章,通过分析我们发现Bnα中极图的独立数α和G(n,k)中极图的割边数k具有如下关系:α=k+1.进而通过在第四章和第五章所得到的结果,我们便可导出Q-谱半径的两个上界,并进行了比较,得到一个较好的上界.这些拓展了前人的一些结果.·第七章总结全文并作出展望.