若干算子逼近问题的研究

作     者：宋文华 

作者单位：内蒙古师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：吴嘎日迪

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Orlicz空间 算子 逼近度 强逆不等式 拟插值 

摘      要：函数逼近论早已成为现代数学中的重要研究内容,这一学科是由Chebyshev和Weierstrass所创立的.Chebyshev在1859年指出了最佳逼近的特征定理.Weierstrass在1885年建立了用多项式逼近连续函数的著名定理.此后,在Jackson、Bernstein和苏联学派的推进下,函数逼近论这门学科逐渐成形,涉及的内容主要涵盖了算子逼近、插值逼近、傅立叶逼近、宽度等相关问题.时至今日,国内外的学者们在连续函数空间和L空间中研究问题并且得到了不少经典的结果.随着研究内容的广泛,研究问题的复杂化,亟待在相对更广泛的空间中研究.由于Orlicz空间的拓扑结构比L空间复杂,所以在Orlicz空间中讨论问题就具有一定的拓展意义和应用前景.本文主要在Orlicz空间中研究了一系列算子逼近,包括一元算子和多元算子逼近的内容,全文共分为三章:第一章介绍了Orlicz空间中的一些基础内容.第二章一元算子逼近.研究了几类一元算子在Orlicz空间内的逼近性质,本章共分为四节.第一节证明了Gauss-Weierstrass算子在Orlicz空间内的加Jacobi权逼近的等价定理.运用K-泛函与光滑模的等价性、凸函数的Jensen不等式等方法完成了证明过程.第二节探究了修正的Baskakov型算子在Orlicz空间内的相关逼近性质,利用K-泛函结合H(?)lder不等式等,构建了这类算子在Orlicz空间内逼近的强逆不等式.第三节探究了Bernstein-Kantorovich拟插值在Orlicz空间中的逼近性质.根据Orlicz空间中复杂的范数计算得到该算子的有界性,并且获得了该算子在Orlicz空间内逼近的正定理、逆定理与等价定理.证明过程主要利用Hardy-Littlewood极大函数、Jensen不等式等工具,结合K-泛函与光滑模的等价关系.第四节研究了一种基于Fejer核的一类Kantorovich型算子,利用凸函数的不等式技巧和K-泛函得到了该算子在Orlicz空间内的逼近度的估计.第三章多元算子逼近.主要研究了两类多元算子在Orlicz空间内的逼近问题.本章分为两节.第一节讨论了一种二元Kantorovich型算子在Orlicz空间内的收敛性.按照Orlicz空间内范数的定义,计算了这种二元Kantorovich型算子的有界性,并且得到了逼近的正定理,证明过程主要利用凸函数的性质和一些不等式技巧.第二节根据N函数的凸性、结合Hardy-Littlewood极大函数、H(?)lder不等式等,证明了二元Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空间中的逼近正定理和逆定理.