类域论的早期历史研究

作     者：郝丽玲 

作者单位：河北师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：邓明立

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 0701[理学-数学] 070101[理学-基础数学] 

主      题：类域论 类域 菲利普·富特温勒 主理想定理 互反律 

摘      要：类域论是研究数域上阿贝尔扩张的理论,是20世纪代数数论的重要成就。类域论始于克罗内克1853年的猜想,其后经希尔伯特、富特温勒、高木贞治和阿廷等数学家的努力,于20世纪三十年代发展成熟,并在诸多方面得到推广。本文在研读大量相关研究文献和原始文献的基础上,运用概念分析、编年史和文献分析等方法,以类域论的早期历史发展为线索,探究了类域论的开端,梳理了“类域概念的演变,对数学家们的思想来源、所作的工作以及产生的影响进行了分析和探究。同时,重点研究了富特温勒在互反律、类域和主理想定理等方面的工作及影响,肯定了其在类域论早期历史发展中承前启后的地位。所取得的主要结果和结论为:1.探究了类域论的开端。克罗内克首次提出了“类域的思想,并将其具化为一个数学概念——相伴种类。之后,韦伯首创“类域这一术语来表示相伴种类,并推广了它的定义。希尔伯特在“代数数域理论中,重新定义了“类域,并于1898年提出了一系列关于数域上阿贝尔扩张的猜想,这些猜想是类域论基本定理的雏形。2.考察了富特温勒的人生经历及其在推动类域论发展方面所作的工作。德国数学家富特温勒致力于数论的研究,尤其在希尔伯特猜想方面取得了很多重要成果。他于20世纪初开始研究希尔伯特第9问题,将希尔伯特提出的二次互反律推广到奇素数次幂、准素理想、奇素指数幂甚至奇素幂指数上,部分地解决了希尔伯特第9问题。1907—1911年,他给出了希尔伯特猜想的一般性证明,证明了绝对类域的存在性、分解定理和同构定理等,为高木贞治建立类域论奠定了基础。1930年,基于阿廷的群理论,富特温勒证明了主理想定理,解决了类域论中遗留30多年的难题。3.分析了高木贞治建立类域论的过程。在希尔伯特和富特温勒等人的研究基础上,高木贞治重新定义了类域,在阿贝尔扩张与基域的理想类群之间建立了联系,提出了关于类域论的基本定理,从而创立了一门新的理论体系——类域论。4.探讨了阿廷、哈塞和谢瓦莱在简化和推广类域论方面所作的工作。阿廷引入阿廷互反律,简化了类域论基本定理的证明。哈塞运用局部—整体原则,探究了局部类域论。谢瓦莱引入伊代尔的概念,研究了伊代尔的拓扑性质,并借助伊代尔将类域论完全算术化。5.介绍了类域论的后续发展。类域论作为代数数论的重要分支有着强大的生命力,最初类域论只局限于解决数域上的阿贝尔扩张问题,但随着数论体系的逐步完善,数学家们深入研究发现函数域上的类域论也是成立的,甚至可以拓展到非阿贝尔扩张。