非牛顿渗流方程Dirichlet问题解的复杂渐近行为

作     者：李敏 

作者单位：重庆三峡学院 

学位级别：硕士

导师姓名：王良伟

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：非牛顿渗流方程 Dirichlet问题 快扩散 复杂渐近行为 适当解 

摘      要：本文考虑的是快扩散非牛顿渗流方程Dirichlet问题解的复杂渐近行为.非牛顿渗流方程也叫发展的p-Laplace方程,来源于自然界中广泛存在的扩散现象,且应用于生物化学、生物群体动力学、渗流理论、相变理论及图像处理等众多领域.非牛顿渗流方程是拟线性、具退化性或其他奇异性的,由于在实际中这类方程比线性方程和不具退化性或其他奇异性的方程更能反映某些物理现象,另一方面由于它的具退化性或其他奇异性使得研究内容更加丰富,因此对这类抛物型方程的研究十分必要且有很高的理论价值和很好的应用前景.抛物型偏微分方程解的渐近行为是描述当时间趋于无穷大时,解所呈现出来的性质.例如解会随着时间趋于无穷大而发生收敛到某个固定函数或者发生爆破等现象,一般是通过ω极限集的元素个数来刻画复杂渐近行为,ω极限集的元素个数大于等于2才具有复杂渐近行为.二阶抛物型偏微分方程Cauchy问题解的复杂渐近行为吸引了人们广泛的兴趣,但对二阶抛物型偏微分方程Dirichlet问题解的复杂渐近行为人们的关注还不够多.本文主要目的在于考虑非牛顿渗流方程Dirichlet问题解在快扩散情况下的复杂渐近行为,也就是考虑p≤pc:=2n/n+1时的问题.我们将首先考虑一种特殊模型解的复杂渐近行为,再将特殊模型的解作为比较函数,得到一般情况下解的复杂渐近行为.全文共分六章,第一章是绪论部分,主要介绍了非牛顿渗流方程等非线性偏微分方程的研究现状,具体为介绍热方程、牛顿渗流方程、非牛顿渗流方程、非牛顿多方渗流方程,并介绍了它们解的存在唯一性,渐近行为等发展现状.第二章介绍了本文所需预备知识的基本定义、定理和相关不等式.第三章介绍了一种特殊模型,也就是在Ω:=B:=BR(0)上考虑非牛顿渗流方程Dirichlet问题的径向对称解,我们先考虑该模型的逼近问题,再用比较原理、极值原理等原理得到特殊模型的初值满足不同条件时,解具有的不同复杂渐近行为.第四章介绍了一般模型下,初值满足不同条件时,逼近问题解的极限函数u(在第五章我们会给出非牛顿渗流方程Dirichlet问题适当解的定义并证明逼近问题解的极限函数就是适当解)具有的不同复杂渐近行为,具体为:(1)如果p/2-pγ1≤γ20,使得对任意r0,问题的适当解u都满足#12(2)如果γ1=γ2=n-p/p-1,奇异点一直存在,也就是存在正的常数c1,c2使得u满足c1|x|-n-p/p-1≤u(x,t)≤ c2|x|-n-p/p-1;(3)如果n-p/p-1γ1≤γ2,那么u在t→∞时,局部一致发散u(·,t)→∞,x∈Ω.第五章给出了适当解的定义,并证明了我们所考虑的正则化问题的极限正是原问题的适当解.第六章是本文的结论与展望.对本文的研究方法和结果进行了总结,以及对其它问题的展望.