关于两类原始对偶不动点算法的加速及其应用研究

作     者：黄文丽 

作者单位：南昌大学 

学位级别：硕士

导师姓名：唐玉超

授予年度：2021年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：原始对偶方法 不动点算法 邻近算子 超松弛 预处理 

摘      要：近年来,两个及以上凸函数和的优化问题受到广泛关注和研究,实际应用中的许多优化模型都可以归结为这些凸优化问题的特例,包括信号和图像处理、机器学习和经济管理等。然而,由于这些问题通常是不光滑以及变量比较多,传统的优化方法无法直接使用或计算代价大。为克服这些困难,基于算子分裂和原始对偶的方法成为研究的热点。本文主要研究两类原始对偶不动点算法的加速研究,分别提出超松弛原始对偶不动点算法和预处理原始对偶不动点算法,研究所提算法的收敛性和收敛率等性质。同时,将所提算法应用于具体图像复原问题。全文分为四章,具体内容如下:第一章,首先介绍两个及以上凸函数和的优化问题的背景及相关算法的研究现状。然后回顾本文所涉及到的一些符号、定义和定理等。最后,对本文主要研究内容进行阐述。第二章,提出超松弛原始对偶不动点算法求解两个凸函数和的优化问题。相比于原始对偶不动点算法,本章所提超松弛算法扩展了松弛参数的选择范围。运用平均非扩张算子不动点理论,证明所提迭代算法的收敛性,并证明算法的遍历收敛率。在假设目标函数满足强凸的条件时,证明算法具有全局线性收敛率。为验证算法的有效性和优越性,将所提算法运用于求解全变分图像去模糊问题,数值结果表明,选择松弛参数大于1(即超松弛)的原始对偶不动点算法比松弛参数小于1时算法收敛更快。第三章,提出预处理原始对偶不动点算法求解三个凸函数和的优化问题。通过定义合适的范数,证明所提预处理算法的收敛性。同时,建立所提算法与其他算法的联系。进一步,证明所提预处理算法的遍历收敛率。并在假设目标函数满足一些强的条件时,证明算法具有全局线性收敛率。为验证算法的有效性和优越性,将所提算法运用于求解具有约束的全变分图像去模糊问题,数值结果表明,所提预处理算法比其他原始对偶算法所需迭代步数更少。第四章,对全文进行总结,并给出未来研究工作的方向。