非线性薛定谔方程的平方守恒格式

作     者：郭红娟 

作者单位：南京师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：王雨顺

授予年度：2020年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：哈密顿系统 非线性薛定谔方程 平方守恒 李群算法 李代数 流形上微分方程 

摘      要：非线性薛定谔方程是量子力学的基石,在许多领域都有非常重要的应用.发展该方程高效稳定的高精度数值算法一直是科学计算领域的研究热点之一.大量数值实验和理论分析表明,能够保持连续系统结构的保结构算法相比于其他非保结构算法在数值稳定性和长时间数值模拟的精度上更具有优越性.李群算法是近几年发展起来的保结构算法,该方法可以有效地构造流形上微分方程的保结构算法.其主要思想是利用李群和李代数的对应关系,把流形上的微分方程局部地写成其李代数上的方程,通过求解李代数上方程的数值解对应得到原流形上的数值解.目前李群算法已经成功应用于若干经典的流形方程,也在少数偏微分方程上得到应用.本文利用李群算法的思想,构造了非线性薛定谔方程的几类平方守恒的数值算法.已有的保结构算法大多只具有时间二阶精度,如何得到更高阶的保结构算法一直是保结构算法研究领域的难点之一.本文通过李群算法的思想可以得到非线性薛定谔方程的四阶保结构算法.我们首先将非线性薛定谔方程写成哈密顿形式并给出相应的守恒性质.然后分别选取适当的有限差分方法和傅里叶伪谱方法对非线性薛定谔方程进行空间离散,使得得到的半离散系统仍然是守恒系统,可以保持原系统的平方守恒结构.随后我们采取三种不同的李群方法:Crouch-Grossman方法（简称C-G方法）、Munthe-Kaas方法（简称M-K方法）、Cayley变换方法,分别对半离散的非线性薛定谔方程进行时间离散,得到一系列平方守恒的全离散格式.由于C-G方法和M-K方法需要计算矩阵指数,因此,我们仅对C-G方法和M-K方法构造时间一阶、二阶格式.对Cayley变换我们构造了从一阶到四阶的数值格式.通过数值实验我们验证了数值算法的精度以及对二次能量的长时间保持情况.结果表明对非线性薛定谔方程用李群方法构造平方守恒的数值格式是行之有效的.