基于三次B样条曲线的一些算法研究

作     者：冯峰 

作者单位：武汉大学 

学位级别：硕士

导师姓名：蒋维

授予年度：2021年

学科分类：08[工学] 0802[工学-机械工程] 080201[工学-机械制造及其自动化] 

主      题：B样条 三次B样条曲线 闭曲线演化 平均曲率流 表面扩散流 参数有限元方法 Hausdorff距离 流形距离 曲线矢量数据压缩 整体C~2-连续 Douglas-Peucker算法 约束条件 

摘      要：B样条具有局部性与光滑性等良好的性质,能够灵活地表示复杂的自由型曲线和曲面,因此在计算机辅助几何设计等领域应用广泛.我们在本文中分别研究了 B样条在曲线演化问题和曲线矢量数据压缩问题中的应用,并由此提出了求解曲线演化问题的三次B样条参数有限元方法和一种带约束的三次B样条曲线矢量数据压缩算法.曲线演化问题属于一类常见的几何演化问题,通常由特定的时空相关的非线性几何偏微分方程所决定,我们将三次B样条应用于参数有限元方法中,用来求解平均曲率流和表面扩散流下平面闭曲线的演化问题.我们首先利用三次B样条有限元对曲线演化问题的变分形式进行离散,得到了基于三次B样条的空间半离散格式,随后应用半隐式方法在时间上进行离散,从而得到了该变分形式的全离散格式.同时,我们还引入了 Hausdorff距离和流形距离这两种度量方式来衡量闭曲线间的距离,并针对具有不同连续性的三次B样条曲线插值算例,展示了这两种距离度量的差异.在平均曲率流和表面扩散流下曲线演化的若干数值模拟算例表明,相对于传统线性参数有限元方法的二阶误差收敛阶,我们所提出的三次B样条参数有限元方法能够达到四阶误差收敛阶,其数值算例证实了我们所提出算法的优越性.为了便于大型矢量数据高效的检索分析,存储和传输,事先对矢量数据进行压缩是极为必要的.基于B样条良好的局部性和光滑性,我们利用带约束条件限制的三次B样条逼近方法对曲线矢量数据进行压缩.为了验证所提出算法的高效性,我们给出了 9种不同的曲线矢量数据压缩算例,并同时与传统的Douglas-Peucker矢量压缩算法进行对比.数值算例结果表明,我们所提出的曲线矢量数据压缩算法明显优于传统的Douglas-Peucker压缩算法.该算法不仅能够保证曲线整体的二阶光滑性以及满足压缩过程中对首尾端点的约束要求,还能够显著地降低数据的压缩率,因而在自动驾驶等领域具有广泛的应用前景.