一类分数阶Sturm-Liouville型特征值问题的研究

作     者：王梦冉 

作者单位：山东大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李静

授予年度：2021年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：分数阶Sturm-Liouville型特征值问题 分数阶微分方程 Riemann-Liouville分数阶导数 Riemann-Liouville分数阶积分 分数阶Sturm-Liouville型初值问题 

摘      要：Sturm-Liouville问题研究了Sturm-Liouville算子的特征值以及按照特征函数的展开,它与量子力学理论的建立密不可分。在日常生产生活的各个领域均具有十分广泛的应用,许多日常生活中出现的实际问题它们的解决方法都可以转化为对Sturm-Liouville问题特征值与特征函数以及微分方程性质的研究,通过研究结果我们可以预测实际问题中系统过程的某些特性,这为实际应用问题的解决做出了巨大贡献。分数阶微积分可以说是由整数阶微积分一步步推广得到的,它们的产生与发展不尽相同但又密不可分。伴随着多年以来的研究发现,分数阶微积分在我们所熟知的诸多领域愈发重要,其优良的实用性被广大学者不断发掘出来。正是因为这些应用背景的不断扩大,该领域才成就了如今的迅猛发展。它往往会提供一些实用性较强的思路与方法去解决微分方程和积分方程问题,为我们的科研创新做出杰出的贡献。在分数阶微积分不断壮大发展的过程中,人们同样关注到了分数阶微分方程。分数阶微分方程是指带有分数阶导数的方程,它最早应用于物理学、生物学、化学、经济金融等相关领域,它是自然问题产生的大量数学模型中非局部特性表现的代表,因此在当今的社会其应用范围十分广泛。本文研究了一类同时带有左、右Riemann-Liouville分数阶导数与左、右Riemann-Liouville分数阶积分的分数阶Sturm-Liouville型特征值问题:#12此问题来源于非局部力学中的控制平衡方程,与实际问题联系紧密。文章的主要研究工作结构安排如下:第二章:介绍了左、右Riemann-Liouville分数阶积分和左、右Riemann-Liouville分数阶导数的定义与相关性质,二阶微分方程其特征值理论以及几个重要的定理。第三章:证明得到了当0α1/2时,文章研究的分数阶Sturm-Liouville型特征值问题具有有限重的实特征值且为可数多个,对应的特征函数在Hilbert空间中能够构成完备的正交系,最终我们还推导出了特征值的下界。第四章:为了推导出特征值几何重数相关的定量结论,构建了初值问题:#12讨论此初值问题解的唯一性结论,最终证明得到特征值的几何重数是单的。文章的最后,针对本文结论进行总结与梳理,并且提出3个可以继续研究的内容。本文的创新与难点在于研究了一类同时带有左、右分数阶导数与积分的二阶微分方程特征值理论,建立了特征值的实值性、可数性、几何重数问题和特征函数的完备性、正交性等结论。此类问题破坏了初值问题解的唯一性,且无法直接应用Laplace变换,经典的局部分析方法等进行研究求解,因此,本文中我们使用了算子理论去求解我们的问题。