空间分数阶偏微分方程的稀疏网格方法

作     者：李子彦 

作者单位：山东大学 

学位级别：硕士

导师姓名：芮洪兴

授予年度：2021年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：空间分数阶偏微分方程 稀疏网格方法 G-L移位差分方法 高维快速算法 

摘      要：空间分数阶方程可以用来模拟许多现象,而计算空间分数阶偏微分方程的数值解与相应的分析仍然是一件较为困难的事情,特别是对于高维的空间分数阶问题。由维度增长带来的计算量几何式增长同样困扰着分数阶方程。而稀疏网格方法正是用来解决维度诅咒的问题,通过使用张量基,并去掉对误差影响较少的节点,来形成稀疏网格,降低计算花费,同时还可以保持与原差分方法相同的误差阶。本文主要考虑R-L型分数阶扩散方程与回火R-L空间分数阶扩散方程的稀疏网格算法。第一章,介绍了分数阶导数和稀疏网格方法的一些发展历史及其他人的一些工作,同时介绍了一些分数阶导数的基础知识。第二章,介绍了稀疏网格的一些知识,以及全网格下的差分算子与稀疏网格下的差分算子的投影转换。第三章,讨论了 R-L空间分数阶扩散方程的稀疏网格方法,给出了稀疏网格下的差分算子的截断误差,并给出了差分格式的收敛性和稳定性分析。与全网格的方法相比较,发现稀疏网格方法所需计算花费远小于全网格方法,且当维度提升时,稀疏网格节省花费约多。第四章,将普通R-L分数阶方程上的稀疏网格方法推广到回火型R-L分数阶方程上,并给出了相对应的截断误差与稳定性和收敛性分析。第五章,对本文进行了总结。