关于Toeplitz矩阵问题的数值解法

作     者：姜梦娇 

作者单位：华东师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：郭学萍

授予年度：2020年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Toeplitz矩阵 弱非线性方程组 分数阶 非线性Schr(?)dinger方程 数值解法 

摘      要：Toeplitz矩阵在科学与工程的众多领域中均有着广泛的应用,比如数字图像与信号的处理,微分方程数值解以及排队网络等等.本文考虑两个与Toeplitz矩阵有关的问题,对称Toeplitz系统上的弱非线性方程组和空间分数阶非线性Schr（?）dinger方程.具体如下:对于含对称Toeplitz系统的弱非线性方程组,通过分离线性项与非线性项,利用逆无关的预处理共轭梯度法（AIPCG）,建立了以Picard迭代法作为外迭代的Picard-AIPCG迭代方法.其优势在于无需精确计算和存储雅各比矩阵,只需解常系数矩阵的线性子系统.因此在实际应用中,大大缩减了计算量和存储量.而且利用AIPCG迭代作为内迭代的收敛速度非常快且不依赖于参数.理论分析证明在给定条件下该方法是全局收敛的.数值实验表明在特定情形下,Picard-AIPCG方法是可行且有效的.对于空间分数阶非线性Schr（?）dinger方程,使用隐式守恒差分离散后,原问题转化成线性方程组,其系数矩阵为非负对角阵、对称正定的Toeplitz矩阵和复的单位阵之和.基于交替迭代方法,本文提出了不对称的分裂（LS）迭代方法和改进的平均移位分裂（MMS）迭代方法,并证明了其收敛性.此两种迭代方法均需分别求解以对角矩阵和Toeplitz矩阵为系数矩阵的子系统,从而可分别直接求解和快速求解上述两个子系统.此外,MMS迭代方法不需要额外计算最优参数.最后数值例子验证了这两种迭代方法的可行性与高效性.