一类双调和方程多解的计算方法研究

作     者：沈燕 

作者单位：上海师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李昭祥

授予年度：2020年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：对称破缺分歧 Liapunov-Schmidt约化 解枝转接方法 双调和方程 Legendre-Galerkin谱方法 

摘      要：本文研究非线性四阶椭圆型偏微分（双调和）方程边值问题多解的数值计算方法,主要分为两个部分:第一部分研究单位正方形区域上双调和方程Navier边值问题的多解,其方程如下:其中,Ω是单位正方形区域,x是二维向量,x0是单位正方形的中心,q1,λ∈R和r0是给定的参数.首先利用对称破缺分歧理论和Legendre-Galerkin谱方法计算出单位正方形区域上方程（0.1）的非平凡解,然后从非线性问题的非平凡解枝出发,取方程（0.1）中的r作为分歧参数,利用延拓方法得到方程（0.1）的正解枝.在延拓的过程中寻找潜在的对称破缺分歧点,然后通过建立扩张系统,精确计算出该对称破缺分歧点,并利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接方法,计算出单位正方形区域上方程（0.1）具有不同对称性质的多个正解,并且得到该区域上方程（0.1）正解的对称破缺分歧图.第二部分研究单位正方形区域上双调和方程Drichlet边值问题的多解,其方程如下:这里,Ω是单位正方形区域,x是二维向量,x0是单位正方形的中心,取参数q1,λ ∈R和r ≥ 0.首先利用Liapunov-Schmidt约化,对称破缺分歧理论和Legendre-Galerkin谱方法计算出该区域Ω上方程（0.2）的非平凡解,然后从非线性问题的非平凡解枝出发,取方程（0.2）中的r作为分歧参数,利用延拓方法得到方程（0.2）的对称正解枝.在延拓的过程中寻找潜在的分歧点,然后通过建立扩张系统,精确计算出该对称破缺分歧点,并利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接方法,计算出单位正方形区域上方程（0.2）具有不同对称性质的多个正解,并且得到该区域上方程（0.2）正解的对称破缺分歧图.数值结果显示了本文方法的有效性.最后,全文进行总结和展望.