数字域上混沌映射的圈结构

作     者：谭凯 

作者单位：湘潭大学 

学位级别：硕士

导师姓名：李澄清

授予年度：2020年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 070201[理学-理论物理] 0701[理学-数学] 0702[理学-物理学] 

主      题：混沌映射 状态映射网络 伪随机序列 周期分布 

摘      要：在计算机中迭代混沌映射是生成伪随机序列的典型方法。以混沌状态为点、两点之间是否存在生成关系为有向边,建立混沌映射的状态映射网络（State-Mapping Network,SMN）。对于不同的混沌映射,其SMN有着不同的整体结构。有些混沌映射的SMN只有“圆圈,即任何状态迭代若干次后都会回到本身。迭代混沌映射实际上是在对应SMN上游走。通过研究SMN的结构与计算精度之间的变化关系可有效揭示迭代混沌映射所得序列的随机性能。本文主要研究SMN中只有圆圈的两类混沌映射的结构。通过分析它们在有限域中的状态映射网络中圈分布随着精度的变化来研究其内在关系。本文首先简单综述了使用复杂网络来研究数字混沌动力学性质的基本框架和方法。然后分析了Chebyshev多项式在有限素域中的SMN的性质,解析了SMN的圈结构随定点计算精度递增时的变化关系以及在浮点运算模式对SMN的结构的具体影响。通过对角化二维离散Cat映射的变换矩阵,本文给出了迭代该映射任意次时的显式表达式。基于此,分析了使用定点运算精度实现Cat映射所得SMN的精巧结构。严谨地证明了该SMN中圆圈的周期和数量随定点计算精度递增时的变化规律,完美地揭示了在计算机中迭代Cat映射过程中的局部结构。本文的研究成果生动地展示了迭代混沌映射生成伪随机序列的安全缺陷,所用方法也可用来研究其它数字混沌映射的结构和随机性水平检测。