分数阶哈密顿系统的若干问题

作     者：李惠芬 

作者单位：浙江师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：赵晓华

授予年度：2020年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：Riemann-Liouville导数 Caputo导数 分数阶Hamilton方程 线性稳定性 同时带有左右分数阶导数 解析解 

摘      要：分数阶微积分已有300多年的历史,但是直到最近20多年,随着信息技术的不断发展,分数阶微积分才受到越来越多的关注,尤其是其特有的记忆特性,使得分数阶微积分在物理工程领域扮演着重要的角色。虽然对分数阶微分系统的研究已经有了不少,但至今为止,分数阶Hamilton系统的相关研究却相对薄弱,甚至对分数阶Hamilton系统还未形成一致的定义。因此,建立分数阶Hamilton系统的理论体系具有重要的理论和实际意义。本文分为4个部分,主要研究了三方面的内容,包括分数阶Hamilton方程的导出、分数阶线性Hamilton系统的稳定性分析,以及具有左右导数的分数阶Hamilton系统的解析解的求解。具体的研究工作如下:第一章简要介绍了分数阶微积分的发展概况、分数阶Hamilton系统的研究现状以及分数阶微积分的基本定义与性质。第二章作为本文的主要内容之一,首先整理归纳了各种不同方法下所得到的不同形式的分数阶Hamilton方程,并且分析了不同形式的分数阶Hamilton方程之间的相互关系;其次改正了前人直接推广分数阶Hamilton方程阶数的错误,给出了1α2的分数阶分部积分公式成立的条件,并利用这个公式推导出了1α2的分数阶Hamilton方程;最后给出了一种能导出只具有单边导数的分数阶Hamilton方程的方法,推导出了只具有单边导数且α∈（0,2）的分数阶Hamilton方程。第三章在第二章的基础上,针对一类分数阶Hamilton系统（只具有单边导数）,研究其线性系统的稳定性,分别给出了0α1时分数阶线性Hamilton系统渐近稳定,稳定的判定条件以及得到了 1α2时分数阶线性Hamilton系统的解都是不稳定的这一结论。此后对于不同标准型的分数阶线性Hamilton系统,运用上面得到的稳定性判定定理进行稳定性分析,同时对于分数阶线性非齐次Hamilton系统进行求解和稳定性分析。第四章讨论了另一形式的分数阶Hamilton系统（具有双边导数）,首先运用逐步逼近法求解出带有Riemann-Liouville分数阶右导数的微分方程的通解,其次利用这一方法求解了不同情况下的具有双边导数的分数阶Hamilton系统的解析解。