两类分数阶方程最优控制问题的谱方法数值模拟

作     者：宋家斌 

作者单位：山东师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：周兆杰

授予年度：2020年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：分数阶最优控制问题 谱方法 最优误差估计 投影梯度算法 

摘      要：随着分数阶微分方程理论及应用的发展,关于分数阶最优控制问题的研究引起了广泛的关注.本文主要是利用谱方法分别对两类分数阶方程约束的最优控制问题进行了数值逼近.首先考虑如下分布阶最优控制问题:#12 S.t.#12其中-1Dtα表示α（0α1）阶的左Riemann-Liouville分数阶导数,y是状态变量,u是控制变量,yd和f分别表示理想状态和给定的已知函数,Uad表示控制集,γ是正则化参数.针对该问题,首先利用拉格朗日泛函推导出一阶最优性条件.然后利用第一类和第二类广义雅可比多项式作为基函数逼近状态和伴随状态变量,基于先最优后离散的策略构造了 Petrov-Galerkin谱离散格式,并证明了 Petrov-Galerkin谱离散格式的先验误差估计.最后讨论了离散格式的数值实现,并给出数值算例验证了 Petrov-Galerkin谱离散格式的有效性.其次考虑如下二维分数阶反应扩散方程最优控制问题:（?）s.t.#12其中常数 μ ≥ 0,={x=（x1,x2）|x12+x221},Ωc表示Ω在 R2 的补集.针对此问题,首先利用拉格朗日泛函推导了一阶最优性条件,在此基础上分析了控制问题解的正则性.采用圆形域上的正交多项式基函数逼近状态变量,建立了 Galerkin谱离散格式,在加权Sobolev空间中建立了 Galerkin谱离散格式的最优阶误差估计.基于离散的一阶最优性条件,构造了投影梯度算法,并通过数值算例验证了理论结果.