基于RHPM的非线性方程及最优控制求解问题研究

作     者：孙玉博 

作者单位：辽宁科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：何希勤;孙超

授予年度：2019年

学科分类：0711[理学-系统科学] 07[理学] 08[工学] 070104[理学-应用数学] 070105[理学-运筹学与控制论] 081101[工学-控制理论与控制工程] 071101[理学-系统理论] 0811[工学-控制科学与工程] 0701[理学-数学] 

主      题：非线性方程 线性系统 最优控制 同伦摄动 有理同伦摄动 

摘      要：随着科学技术的迅速发展,非线性方程以及最优控制问题在广泛的领域当中发挥着重要的作用。但是在目前的研究中,非线性方程求解的方法仍具有局限性,对于求解最优控制问题的算法来说,也存在各种各样的问题。同伦摄动方法不仅是用来求解各种线性、非线性问题的一种有效工具,同时在最优控制求解问题中也发挥着一定的作用。有理同伦摄动方法是建立在同伦摄动方法的基础之上,该方法利用两个幂级数商的形式将同伦摄动方法进行推广。经过实例验证,有理同伦摄动方法与同伦摄动方法相比,具有迭代次数少、收敛速度快、精度高等优势。本文主要在有理同伦摄动方法收敛性论证的基础上将该方法应用于非线性方程以及最优控制求解问题中。同时,我们改进了有理同伦摄动方法解的形式,提出了一种新的等价解的形式,并将等价的有理同伦摄动方法应用于非线性方程求解当中。最后,利用实例验证了以上两种方法的有效性。本文主要内容如下:首先,本文对同伦摄动方法、非线性方程、最优控制问题目前的研究状况进行了简单的概述。同时简单介绍了同伦方法思想、同伦摄动方法思想及其收敛性证明,并给出了本文所研究的最优控制模型。其次,我们详细地介绍了有理同伦摄动方法的思想及收敛性证明,并给出了新的等价有理同伦摄动方法解的形式,以及有理同伦摄动方法理论在非线性方程和最优控制求解问题中的应用。最后,本文一方面利用等价的有理同伦摄动方法以及有理同伦摄动方法分别求解Riccati微分方程、对流—辐射结合的冷却集合系统、Abel积分方程、范德波尔振荡器方程;另一方面,利用有理同伦摄动方法求解三个一阶线性系统以及一个二阶线性系统最优控制问题。经过以上实例证明,有理同伦摄动方法在非线性方程及最优控制求解问题当中具有迭代次数较少,收敛效果较好,近似解更精确等优点。而等价的有理同伦摄动方法进一步提高了有理同伦摄动方法近似解的精度。