一类非光滑无约束DC优化问题的重分配束方法

作     者：张俊男 

作者单位：辽宁师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：沈洁

授予年度：2019年

学科分类：07[理学] 070105[理学-运筹学与控制论] 0701[理学-数学] 

主      题：非光滑优化 DC优化 次梯度 重分配束方法 对偶空间 

摘      要：对于求解非光滑优化问题,束方法已经展示出非常高的有效性.束方法在保证目标函数值下降的同时又具有一定的稳定性,已经被成功应用到许多领域.该方法的特点在于建立一个信息束用于保留已有的迭代信息,即束方法记住了到目前为止得到的最好的迭代点,在每次迭代过程中都保留着这个最好的点,在此基础之上继续寻找所研究问题的最优解.本文我们主要研究求解一类无约束DC优化问题的重分配迫近束方法,该方法充分利用DC成分中特有的结构信息,构造目标函数的凸分片线性模型,克服目标函数的非凸性带来的难题.进一步运用对偶定理将原子问题与对偶子问题相互转化,分别求出它们的最优解,进而得到下一个迭代点,同时又进一步研究了子问题解的表达式,在此基础之上提出重分配迫近束方法的具体算法.最后,对所提出的重分配迫近束方法的收敛性进行了详细的理论分析.本文主要以重分配迫近束方法思想为基础,在每次迭代过程中,适当选取凸化参数η将目标函数局部凸化,将一类非凸DC优化问题转化成一类凸优化子问题进行求解.全文分为三部分,主要内容如下:第一章,首先介绍了DC规划问题的历史背景与研究现状,并给出有关DC函数的基本概念.接下来,本章详细介绍了求解非光滑优化问题的几种方法,这些方法包括:最速下降法、次梯度法、切平面方法及一般束方法.最后,为了使读者更好地理解本文整体框架,本章还给出与本文密切相关的预备知识与相关结论,与此同时,也为第二章和第三章中问题的深入研究奠定理论基础.第二章,首先介绍了重分配迫近束方法的基本思想,并针对DC优化问,利用重分配迫近束方法思想构造DC函数的一个凸分片线性模型,在此基础上构造了产生下一个迭代点的惩罚子问题,通过子问题的最优性条件,给出子问题最优解的显示表达和基本性质.进一步采用对偶空间的思想研究子问题的解的情况,揭示原始子问题与对偶问题之间的关系.最后给出集线性化等相关定义,为下一章的算法收敛性分析做准备.第三章,在前一部分内容基础之上给出求解无约束DC优化问题的重分配迫近束算法.与此同时,详细展开对算法的深入分析,包括算法的收敛性分析与相关结论的证明.在收敛性分析这一部分,主要分两种情形进行讨论,情形一:算法产生无限多下降步,情形二:算法产生最后一个下降步,之后是无限多零步.从这两方面出发,分别研究本文所提出的重分配迫近束方法的收敛情况.