Helmholtz方程透射特征值问题的谱元法

作     者：戴海 

作者单位：武汉理工大学 

学位级别：硕士

导师姓名：潘文峰

授予年度：2018年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：透射特征值 二次特征值问题 谱元法 等参数单元 

摘      要：Helmholtz方程透射特征值问题是逆散射理论中重要的组成部分,不仅具有重要的理论价值,而且在某些实际问题中具有重要作用.透射特征值可以由远场散射波信息得到,也用来估计目标散射体的性质.越来越多的学者关注到透射特征值问题的研究.本文主要研究声波在一个有界单连通的各向同性介质上的Helmholtz方程透射特征值问题.为了更准确、更高效地求解透射特征值,本文采用基于Chebyshev插值基函数的谱元法.该方法兼具了有限元处理边界和区域的灵活性以及谱方法的快速收敛特性.本文主要从以下几个方面对二维Helmholtz方程透射特征值问题展开研究:首先,对于规则区域上的Helmholtz方程透射特征值问题提出了一种Chebyshev谱元法.基于透射特征值问题的非线性以及非自伴性考虑,通过加权余量法将原问题转化为一类二次特征值问题求解.传统有限元方法在精度上有所不足,Chebyshev谱元法在整个单元区域上选取Chebyshev多项式极值点构造全局基函数,提高级数表示的解收敛速度,同时在积分计算时相比于三角形单元具有较好的形式.具体编程求解时引入并行计算方法,数值实验表明Chebyshev谱元法的有效性.相对于传统有限元方法在计算精度和运行速度上有优势.其次,针对不规则区域上的Helmholtz方程透射特征值问题提出一种等参谱元方法.基于矩形单元对不规则区域,特别是曲边区域的不适应性考虑,引入等参数单元求解.通过加密网格可以很好的近似不规则区域,最大限度的逼近精确解.给出等参单元坐标变换矩阵及其雅可比矩阵,推导出二次特征值问题的刚度矩阵和质量矩阵的数学表达式.与传统有限元方法相比,本方法具有更好的积分形式.选取多种不规则区域进行数值实验,表明等参谱元法解透射特征值问题具有较强的区域适应性,而且计算效率有较大提升.最后,对全文进行总结,给出本文研究工作的创新点,并对未来的研究方向进行了展望.