不完全典型柯克曼填充设计的存在性

作     者：王羚晔 

作者单位：南通大学 

学位级别：硕士

导师姓名：王金华

授予年度：2018年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：典型柯克曼填充设计 嵌入 可分组设计 标架 可分解性 

摘      要：设计的嵌入问题是组合设计理论中的基本问题.不完全典型柯克曼填充设计的存在性在典型柯克曼填充设计嵌入问题的研究中发挥着重要作用.设正整数u≡v≡4(mod 6),X是一个u-元集,Y是X的v-元子集,C是X的3-元和4-元子集(称为区组)的集合.如果三元组(X,Y,C)满足:(i)任意B∈C有|B∩Y|≤1.(ii)集合X中任何无序点对最多同时出现在C一个区组中.(iii)区组集C可划分成X上(u-v)/2个平行类和X\Y上(v-4)/2个带洞的3-元区组平行类,其中每个平行类由1个4元区组和(v-4)/3个3-元区组组成,每个带洞平行类包含X\Y中的所有元素但不含洞Y中的任何元素.(iv)X\Y中每个元素恰好包含在两个大小为4的区组中.则称三元组(X,Y,C)为空缺v阶子设计的u阶不完全典型柯克曼填充设计(Incomplete Canonical Kirkman Packing Design),记为ICKPD(u,v).本文首先直接构作了一些具有三个不同组长的非均匀的区组大小为4的可分组设计和一些带较小洞的不完全典型柯克曼填充设计,然后运用“赋权构作和“填洞构作两种基本递推构作,基本解决了ICKPD(u,v)存在的谱系,得到了下面主要结果.定理A:ICKPD(u,v)存在的必要条件u≡v≡4(mod 6),u≥3v+4也是充分的,其中惟一例外(u,v)=(16,4)和两类可能的例外v≡4(mod 1)2,v76且u∈{3v+4,3v+10}.定理B:设m,n是正整数且m≤n≤2m,则存在型为(3m)(3n)(6m)的4-GDD.定理C:(1)设整数t≥4且t/∈{7,9,10,13,14,15,17,18,19,22,23},则存在型为1215(6t)的4-GDD;(2)设整数t≥4且t/∈{17,18,19,22,23},则存在型为1218(6t)的4-GDD;(3)设整数t≥4且t/∈{7,8,...,12,14,15,17,18,19,22,23},则存在型为1221(6t)的4-GDD.本文的结构安排如下:第一章主要介绍了柯克曼填充设计和不完全柯克曼填充设计的基本概念,及其这些设计的最新存在结果.第二章介绍了可分组设计及其柯克曼标架的概念,给出了可分组设计的一些基本递推方法.利用混差方法通过计算机搜索,直接构作了一些区组大小为4,具有三个不同组长的非均匀的4-GDD,并且利用递推构作更新了4-GDD的存在性结果.利用这些结果得到了一些新的柯克曼标架.这些结果在第四章证明具有最大洞的不完全典型柯克曼填充设计存在性中起到了关键作用.第三章通过直接构作方法构作了一些带较小洞的ICKPD(u,v).在此基础上通过递推构作,完全建立了ICKPD(u,v),其中4≤v≤76存在的谱系.第四章充分利用第二章建立的新的4-GDD和柯克曼标架,有效地解决了几类带有最大洞的不完全典型柯克曼填充设计的存在性,为第五章建立本文主要结果奠定了基础.第五章通过递推和归纳的方法去建立了ICKPD的谱系.第六章给出了本文的简要总结,并提出了进一步研究的问题.