Devaney混沌的等价刻画与赋范空间上连续自映射的回归点研究

作     者：刘洪刚 

作者单位：电子科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：朱培勇

授予年度：2009年

学科分类：07[理学] 070201[理学-理论物理] 0702[理学-物理学] 

主      题：混沌 拓扑传递 回归点 类周期点 Devaney混沌 

摘      要：作为一门新科学的混沌学(Chaology),一般认为始于李天岩和约克(Yorke) 1975年发表于《美国数学月刊》的论文“周期三蕴含混沌,因为该文中“混沌(Chaos)首次被作为科学名词使用。Li-Yorke混沌定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性。因此,1986年Devaney给出了一个直观性更强的Devaney混沌定义。由于混沌现象在自然界无所不有、无所不在,近三十年来混沌学研究得到了巨大发展并且其研究成果在自然科学和社会科学的许多领域都得到广泛应用。 混沌的数学基础至今还很薄弱,寻找各种混沌的等价刻画以及各种混沌之间的关系是当前混沌数学基础研究的重点课题。本文主要成果之一是:就此问题进行研究。首先,将Devaney混沌定义从度量空间推广到一般拓扑空间。在一般拓扑空间中分别得到了Devaney混沌的两组等价刻画。作为这两组等价刻画的推论:如果实数区间I或紧度量空间X上的连续自映射f对于任意两个非空开子集都共享同一周期轨,则f是Li-Yorke混沌映射。两个例子部分地说明本文所得结果在应用中的有效性。 本文的另一研究成果是对赋范空间中回归点理论进行研究,得到了如下三个结果: (1)如果f是序列紧赋范空间X上的连续双射,x是f的任一回归点,则对于任意整数n≥0都存在f的回归点x∈X使得f( x )= x;(2)序列紧赋范空间上连续自映射的回归点集是f的强不变子集;(3)如果f是局部连通赋范空间X上的连续自映射,则f的每一个回归点或是类周期点或是类周期点的聚点。本文的成果是对混沌数学理论以及拓扑动力系统中回归点理论的进一步丰富和发展,在一定程度上展示了拓扑学在上述理论研究中的良好应用前景。