非线性发展方程的H1-Galerkin扩展混合有限元方法

作     者：王玮玮 

作者单位：山东师范大学 

学位级别：硕士

导师姓名：陈焕贞

授予年度：2010年

学科分类：07[理学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 

主      题：二阶线性双曲问题 二阶非线性双曲问题 H1-Galerkin方法 扩展混合有限元方法 最优误差估计 

摘      要：在工农业生产及其科学研究中,大量的实际问题可由非线性(线性)发展方程刻画,如非线性(线性)声波问题,声学问题,环境流体流动问题等.对该类问题的数值模拟已成为应用数学，计算数学和工程科学研究的热点之一.本文就一类刻画非线性(线性)波动的发展方程-二阶双曲型方程,针对工程应用中对声压(未知函数),声压梯度(未知函数梯度)和波动加速度(伴随向量)的关注,提出了能同时高精度逼近声压,声压梯度和波动加速度的H1-Galerkin扩展混合有限元方法,并从数值分析理论角度证明了该方法是模拟该类问题的高性能数值模拟技术. 首先讨论用于刻画线性波的二阶双曲方程初边值问题提出了数值模拟该类问题的H1-Galerkin扩展混合有限元方法.证明了变分形式与边值问题的等价性和离散格式解的存在唯一性，并导出了离散解对真解的最优收敛精度.理论分析表明，该方法可兼具H1-Galerkin方法和扩展混合有限元方法的优点,即离散格式能同时高精度逼近未知函数，未知函数的梯度和伴随向量函数,有限元空间无需要求满足LBB相容性条件且允许不同变量的逼近空间取不同次数的多项式,同时该方法可以避免计算过程中对系数α(x,t)求逆：保证了在小系数α(x,t)的情形下逼近的有效性. 鉴于实际的波动形式大都是以非线性波形式出现,因此我们进一步讨论了刻画非线性波的二阶非线性双曲方程初边值问题提出了数值模拟该类问题的H1-Galerkin扩展混合有限元方法.证明了变分形式与边值问题的等价性和离散格式解的存在唯一性,并利用归纳假设导出了离散解对真解的最优L2收敛精度.理论分析表明,该方法可同时高精度逼近声压p,声压梯度▽p和波动加速度α(p)▽p,是一种数值模拟非线性波动问题的有效方法.另外,我们注意到该方法可避免对α(p)求逆,从而保证了高密度介质情形下对非线性波问题逼近的有效性,同时克服了H1-Galerkin混合元方法由于对非线性系数α(p)关于时间求导所导致的数值分析困难.