基于PDE方法的Bézier曲面设计

作     者：姚毅 

作者单位：杭州电子科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：余正生

授予年度：2011年

学科分类：08[工学] 0802[工学-机械工程] 080201[工学-机械制造及其自动化] 

主      题：Bézier曲面 PDE方法 调和偏微分方程 双调和偏微分方程 

摘      要：Bezier曲面是CAD/CAM系统中最基本的造型工具之一。它采用Bernstein基函数、控制顶点以及与控制顶点关联的权值来表示曲面,具有良好的数学性质,能够满足一定的光滑和光顺要求。但是对于复杂的曲面设计,Bezier曲面会产生大量分布不均的控制顶点。当调整控制顶点时,曲面形状的调整并不形象直观。该调整过程乏味繁琐,从而使曲面设计过程变得非常困难,设计师们往往是事倍功半,效果不佳。同时Bezier曲面造型技术也需要曲面设计人员熟练掌握其数学原理。 近年来,偏微分方程(Partical Differential Equation,简称PDE)方法作为一种高效的曲面设计工具被引进计算机辅助设计领域。该方法将曲面的构造问题看作一偏微分方程的边值问题,通过边界条件来控制曲面形状,可以用来解决过渡曲面的构造、曲面交互式设计等问题。PDE方法生成的曲面光滑,而且求解偏微分方程的方法也比较成熟,容易实现。 国内外对Bezier曲面以及PDE方法的研究比较丰富,然而对于用PDE方法设计Bezier曲面的研究较少。本文研究了用PDE方法构造Bezier曲面的原理和算法,仅给出Bezier曲面边界条件的控制顶点,通过为选定的偏微分方程寻找多项式解,可构造满足给定边界条件的Bezier曲面。 主要按以下结构布局：第一章主要回顾曲面造型的发展历程,并介绍PDE方法的研究现状;第二章对偏微分方程进行了简单介绍,阐述了偏微分方程曲面造型方法的原理,着重描述了如何用解析解方法和数值解方法求解偏微分方程从而构造偏微分方程曲面,解析解方法速度快、对边界条件要求严格但可得到曲面的解析表达式从而便于曲面性质分析,数值解方法速度慢、适用范围广但却容易实现;第三章介绍了Bezier曲线曲面的基本原理,分别研究了给出Bezier曲面的两条边界控制顶点用调和偏微分方程设计C0连续的Bezier曲面的原理和算法,给出Bezier曲面的四条边界控制顶点用双调和偏微分方程设计C0连续的Bezier曲面的原理和算法,提出了在给出Bezier曲面的两条边界控制顶点以及边界上的一阶切矢控制顶点用类双调和偏微分方程设计C1连续的Bezier曲面的原理和算法和在给出Bezier曲面的两条边界控制顶点、边界上的一阶切矢控制顶点和二阶切矢控制顶点用三调和偏微分方程设计C2连续Bezier曲面的原理和方法;第四章将PDE方法设计Bezier曲面的原理应用于其他边界条件,并将PDE方法扩展到了一般矢量形式的4阶偏微分方程。