几类非线性偏微分方程的李群分析、精确解和守恒律

作     者：张丽香 

作者单位：聊城大学 

学位级别：硕士

导师姓名：刘汉泽

授予年度：2018年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：非线性偏微分方程 李群分析 李点对称 对称约化 精确解 守恒律 

摘      要：本文运用李群分析理论研究了三类偏微分方程:变系数四阶偏微分方程、广义(3+1)维ZK方程和变系数五阶色散方程.首先,求出以上方程的所有生成元.然后,得到群不变解和约化方程,对约化方程进行求解.最后,求得原方程的精确解.同时,还给出了前两类偏微分方程的伴随方程和和守恒律.在第一章,利用李群理论分析了一类变系数四阶偏微分方程,根据对称约束条件对变系数的取法进行分类,得到该方程的所有生成元和几个有代表性的四阶偏微分方程.选取恰当的变换把四阶偏微分方程转化成常微分方程.通过求解常微分方程,得到原方程的三角函数解,有理函数展开解和椭圆函数展开解.并且,我们利用求得的生成元获得了四阶偏微分方程的伴随方程和显式守恒律.在第二章,基于李群分析理论求解了广义(3+1)维ZK方程.首先应用延拓向量场的方法得到ZK方程的所有生成元,然后通过选取适当的变换将(3+1)维ZK方程直接约化为(1+1)维偏微分方程和常微分方程.进一步,利用几种辅助方程对约化后的方程进行求解,进而得到原方程的精确解.同时,利用求得的生成元得到广义(3+1)维ZK方程的伴随方程和守恒律.在第三章,利用推广的CK直接约化方法探究了色散方程,把变系数色散方程转化为常系数方程.然后,基于李群分析对常系数色散方程进行求解,进而得到原方程的幂级数展开解和指数函数展开解.